Задание №22 — Сила упругости

Решение:

Обозначения. $m = 1\ \text{кг}$ — масса правого груза, $M$ — масса левого груза, $h = 2\ \text{м}$ — путь, пройденный левым грузом, $v = 4\ \text{м/с}$ — приобретённая им скорость, $a$ — модуль ускорения грузов, $T$ — искомая сила натяжения нити, $g = 10\ \text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения.

Обоснование модели. Нить нерастяжима, поэтому модули перемещений, скоростей и ускорений обоих грузов в любой момент одинаковы. Блок идеальный (невесомый, трения в оси нет), нить невесома, поэтому натяжение нити по обе стороны блока одинаково и равно $T$.

Кинематика. Грузы начали движение из состояния покоя и движутся равноускоренно, поэтому для левого груза $v^2 = 2ah$, откуда

$a = \dfrac{v^2}{2h} = \dfrac{(4\ \text{м/с})^2}{2\cdot 2\ \text{м}} = 4\ \text{м/с}^2$.

Динамика. Левый груз опускается, следовательно, правый груз поднимается с тем же по модулю ускорением $a$, направленным вертикально вверх. На правый груз действуют сила тяжести $m\vec{g}$ (вертикально вниз) и сила натяжения нити $\vec{T}$ (вертикально вверх). Второй закон Ньютона для правого груза в проекции на ось $Oy$, направленную вертикально вверх:

$T - mg = ma$.

Отсюда

$T = m(g + a) = 1\ \text{кг}\cdot(10 + 4)\ \text{м/с}^2 = 14\ \text{Н}$.

Проверка. Для левого груза $Mg - T = Ma$, откуда $M = \dfrac{T}{g-a} = \dfrac{14\ \text{Н}}{(10-4)\ \text{м/с}^2} \approx 2{,}3\ \text{кг}$. Полученная масса больше $m$, что и должно быть: именно более тяжёлый левый груз опускается. Кроме того, $mg = 10\ \text{Н} \lt T \lt Mg \approx 23\ \text{Н}$ — натяжение нити заключено между весами грузов, как и требуется при ускоренном движении.

Ответ: $T = 14\ \text{Н}$.