Задание №22 — Сила упругости

Решение:

Обозначения. $L=3$ м — длина стержня; $d=2$ м — расстояние от правого (нижнего) конца стержня до точки подвеса нити; $\alpha=60^\circ$ — угол между стержнем и вертикалью; $m=5$ кг — масса шара; $T$ — модуль силы натяжения нити; $N$ — искомый модуль силы нормальной реакции правой стенки, действующей на нижний конец стержня; $N_1$ — модуль силы нормальной реакции левой стенки, действующей на верхний конец стержня; $N_2$ — модуль силы нормальной реакции дна ящика; $g=10$ м/с$^2$ — ускорение свободного падения.

Силы, действующие на стержень. Стержень невесомый, стенки и дно гладкие, поэтому силы реакции перпендикулярны поверхностям:

• к верхнему (левому) концу приложена сила $\vec N_1$ со стороны левой стенки — горизонтальная, направленная вправо;
• к нижнему (правому) концу приложены сила $\vec N$ со стороны правой стенки — горизонтальная, направленная влево, и сила $\vec N_2$ со стороны дна — вертикальная, направленная вверх;
• в точке подвеса на стержень действует сила натяжения нити, направленная вертикально вниз.

Сила натяжения нити. Шар покоится, на него действуют сила тяжести $m\vec g$ и сила натяжения нити. Из условия равновесия шара $T=mg$. По третьему закону Ньютона нить тянет стержень вниз с такой же по модулю силой $T=mg$.

Условия равновесия стержня. Стержень покоится, значит равна нулю и векторная сумма сил, и сумма моментов сил относительно любой оси.

Проекция на горизонтальную ось:

$$N_1 - N = 0\quad\Rightarrow\quad N = N_1.$$

Правило моментов относительно оси, проходящей через нижний (правый) конец стержня перпендикулярно плоскости рисунка. Силы $\vec N$ и $\vec N_2$ приложены на этой оси и моментов не создают. Плечо силы натяжения (вертикальной) равно горизонтальному смещению точки подвеса от нижнего конца, то есть $d\sin\alpha$; плечо горизонтальной силы $\vec N_1$ равно высоте верхнего конца над нижним, то есть $L\cos\alpha$. Эти моменты противоположны по направлению:

$$mg\,d\sin\alpha = N_1 L\cos\alpha\quad\Rightarrow\quad N_1=\frac{mg\,d\sin\alpha}{L\cos\alpha}=\frac{mg\,d\,\operatorname{tg}\alpha}{L}.$$

Следовательно,

$$N=\frac{mg\,d\,\operatorname{tg}\alpha}{L}.$$

Расчёт.

$$N=\frac{5\cdot 10\cdot 2\cdot\operatorname{tg}60^\circ}{3}=\frac{100\sqrt3}{3}\approx 57{,}7\ \text{Н}\approx 58\ \text{Н}.$$

Проверка: сила давления на дно $N_2=mg=50$ Н, а горизонтальные силы $N_1=N\approx 58$ Н уравновешивают друг друга — система сил замкнута, размерность и порядок величины разумны.

Ответ: $N=\dfrac{100\sqrt3}{3}\approx 58$ Н.