Задание №22 — Закон сохранения импульса системы тел

Решение:

Обозначения. $m_1=3m$ и $m_2=m$ — массы шариков; $v$ — искомый модуль скорости каждого шарика перед столкновением; $u=0{,}5$ м/с — модуль скорости слипшихся шариков сразу после столкновения.

Закон сохранения импульса. Время взаимодействия пренебрежимо мало, поэтому импульс внешних сил за время удара пренебрежимо мал и систему двух шариков можно считать замкнутой:

$$m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2 = (m_1+m_2)\vec u.$$

Движение прямолинейное; направим ось $Ox$ вдоль скорости более тяжёлого шарика (массы $3m$). Шарики летят навстречу друг другу с равными по модулю скоростями, поэтому $v_{1x}=+v$, $v_{2x}=-v$. В проекции на ось $Ox$:

$$3m\cdot v + m\cdot(-v) = (3m+m)\,u_x,$$

$$2mv = 4m\,u_x\quad\Rightarrow\quad u_x=\frac{v}{2}.$$

Так как $u_x\gt 0$, после удара шарики летят в сторону движения тяжёлого шарика, и $u=\dfrac{v}{2}$, откуда

$$v = 2u.$$

Расчёт.

$$v = 2\cdot 0{,}5 = 1\ \text{м/с}.$$

Ответ: $v=1$ м/с.