Задание №25 — ЭДС. Закон Ома для замкнутой цепи

Решение:

Обозначения. $\varepsilon$ — ЭДС батареи; $r$ — её внутреннее сопротивление; $R$ — сопротивление реостата (в двух опытах оно разное: $R_1$ и $R_2$); $I_1 = 1$ А и $I_2 = 5$ А — силы тока в цепи в первом и втором опытах; $N_1 = 4$ Вт и $N_2 = 10$ Вт — мощности, выделяемые на реостате в этих опытах.

Используемые законы. Батарея и реостат соединены последовательно (см. схему), поэтому по закону Ома для полной цепи $\varepsilon = I(R + r)$. Полная мощность, развиваемая источником, $P = \varepsilon I$; мощность на внешнем участке (реостате) $N = I^2 R$; мощность, выделяющаяся внутри источника, $P_r = I^2 r$. По закону сохранения энергии

$$\varepsilon I = N + I^2 r.$$

(Это же соотношение получается умножением равенства $\varepsilon = I(R+r)$ на $I$.)

Запишем его для обоих опытов:

$$\varepsilon I_1 = N_1 + I_1^2 r,\qquad \varepsilon I_2 = N_2 + I_2^2 r.$$

Чтобы исключить $r$, умножим первое уравнение на $I_2^2$, второе — на $I_1^2$ и вычтем:

$$\varepsilon I_1 I_2^2 - \varepsilon I_2 I_1^2 = N_1 I_2^2 - N_2 I_1^2 \;\Longrightarrow\; \varepsilon I_1 I_2 (I_2 - I_1) = N_1 I_2^2 - N_2 I_1^2,$$

$$\varepsilon = \frac{N_1 I_2^2 - N_2 I_1^2}{I_1 I_2 (I_2 - I_1)}.$$

Подставим числа:

$$\varepsilon = \frac{4\cdot 5^2 - 10\cdot 1^2}{1\cdot 5\cdot (5-1)} = \frac{100 - 10}{20} = 4{,}5\ \text{В}.$$

Проверка. Из $\varepsilon I_1 = N_1 + I_1^2 r$ получаем $r = 0{,}5$ Ом. Тогда $R_1 = N_1/I_1^2 = 4$ Ом и $\varepsilon = I_1(R_1+r) = 1\cdot(4+0{,}5) = 4{,}5$ В; $R_2 = N_2/I_2^2 = 0{,}4$ Ом и $\varepsilon = I_2(R_2+r) = 5\cdot(0{,}4+0{,}5) = 4{,}5$ В — оба опыта дают одно и то же значение ЭДС.

Ответ: $\varepsilon = 4{,}5$ В.