Задание №25 — Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца

Решение:

Обозначения. $l = 10$ см $= 0{,}1$ м — сторона квадратной рамки; $S = l^2$ — площадь рамки; $R = 0{,}2$ Ом — сопротивление рамки; $B_n$ — проекция вектора $\vec B$ на нормаль к плоскости рамки (её график дан в условии); $\Phi = B_n S$ — магнитный поток через рамку; $\varepsilon$ — ЭДС индукции; $I$ — сила индукционного тока; $Q$ — количество теплоты, выделившееся в рамке за время $t = 10$ с.

Используемые законы.

• Магнитный поток через плоский контур в однородном поле: $\Phi = B_n S$.
• Закон электромагнитной индукции Фарадея: $\varepsilon = \left|\dfrac{\Delta \Phi}{\Delta t}\right|$.
• Закон Ома для замкнутой цепи: $I = \dfrac{\varepsilon}{R}$.
• Закон Джоуля—Ленца: $Q = I^2 R\,\Delta t = \dfrac{\varepsilon^2}{R}\,\Delta t$.

Рамка неподвижна и не деформируется, поэтому $S = \text{const}$ и изменение потока вызвано только изменением $B_n$:

$$\varepsilon = S\left|\frac{\Delta B_n}{\Delta t}\right| = l^2\left|\frac{\Delta B_n}{\Delta t}\right|.$$

По графику зависимость $B_n(t)$ кусочно-линейная, значит на каждом её участке скорость изменения индукции, а вместе с ней и ЭДС индукции, постоянна. Участков два.

Участок 1: $0 \le t \le t_1 = 4$ с, проекция убывает от $B_1 = 0{,}6$ Тл до $B_2 = -0{,}4$ Тл:

$$\left|\frac{\Delta B_n}{\Delta t}\right|_1 = \frac{|B_2 - B_1|}{t_1} = \frac{1{,}0\ \text{Тл}}{4\ \text{с}} = 0{,}25\ \text{Тл/с},\qquad \varepsilon_1 = l^2\cdot 0{,}25 = 0{,}01\cdot 0{,}25 = 2{,}5\cdot 10^{-3}\ \text{В}.$$

$$Q_1 = \frac{\varepsilon_1^2}{R}\,t_1 = \frac{(2{,}5\cdot 10^{-3})^2}{0{,}2}\cdot 4 = 1{,}25\cdot 10^{-4}\ \text{Дж}.$$

Участок 2: $4\ \text{с} \le t \le 10$ с (длительность $t_2 = 6$ с), проекция возрастает от $-0{,}4$ Тл до $B_3 = 0{,}2$ Тл:

$$\left|\frac{\Delta B_n}{\Delta t}\right|_2 = \frac{|B_3 - B_2|}{t_2} = \frac{0{,}6\ \text{Тл}}{6\ \text{с}} = 0{,}1\ \text{Тл/с},\qquad \varepsilon_2 = 0{,}01\cdot 0{,}1 = 1{,}0\cdot 10^{-3}\ \text{В}.$$

$$Q_2 = \frac{\varepsilon_2^2}{R}\,t_2 = \frac{(1{,}0\cdot 10^{-3})^2}{0{,}2}\cdot 6 = 3{,}0\cdot 10^{-5}\ \text{Дж}.$$

Полное количество теплоты за $t = 10$ с:

$$Q = Q_1 + Q_2 = 1{,}25\cdot 10^{-4} + 0{,}30\cdot 10^{-4} = 1{,}55\cdot 10^{-4}\ \text{Дж}.$$

Ответ: $Q = 1{,}55\cdot 10^{-4}$ Дж $= 155$ мкДж $\approx 0{,}16$ мДж.