Задание №25 — Однородное электростатическое поле

Дано: q = 5 нКл = $5 \cdot 10^{- 9}$ Кл; l = 0,8м; E = 6⋅10⁵ В/м; α = 30°; v = 0,9 м/с.

Найти: m - ?

Решение:

1) Примем лабораторную систему отсчета за инерциальную. В процессе движения на шарик оказывают воздействие три силы: направленная вниз сила тяжести $m \overset{\rightarrow}{g}$, действующая горизонтально электрическая кулоновская сила $q \overset{\rightarrow}{E}$ и сила натяжения нити $\overset{\rightarrow}{T}$, вектор которой совпадает с направлением нити (см. чертеж).

2) Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии тела в ИСО: $E_{к} = A ( 1 ) .$ Работа, совершаемая силой натяжения T, оказывается нулевой, поскольку вектор данной силы всегда направлен под прямым углом к вектору мгновенной скорости. Поскольку силы $m \overset{\rightarrow}{g}$ и $q \overset{\rightarrow}{E}$ являются консервативными (потенциальными), суммарная работа этих сил при перемещении из старта в финиш определяется только начальным и конечным положениями тела.

3) Для удобства расчета представим перемещение шарика как совокупность двух этапов: вертикальный подъем на высоту h и последующий горизонтальный сдвиг на дистанцию b до точки остановки. На таком пути суммарная работа силы тяжести и кулоновской силы составит:
$A = A_{э} + A_{т} ( 2 )$
$A_{э} = qEb ( 3 )$
$b = l\sin \alpha ( 4 )$

Объединим выражения (4) и (3):
$A_{э} = qEl\sin \alpha ( 5 )$
$A_{т} = - mgh ( 6 )$
$h = l \left(1 - \cos \alpha \right) ( 7 )$
Подставим результат (7) в формулу (6):
$A_{т} = - mgl \left(1 - \cos \alpha \right) ( 8 )$
Используя соотношения (5) и (8), перепишем уравнение (2):
$A = qEl\sin \alpha - mgl \left(1 - \cos \alpha \right) ( 9 )$
$E_{к} = \frac{mv^{2}}{2} - 0 ( 10 )$
Подставив (9) и (10) в исходное уравнение (1), получим:
$\frac{mv^{2}}{2} = qEl\sin \alpha - mgl \left(1 - \cos \alpha \right) ( 11 )$
$mv^{2} = 2 qEl\sin \alpha - 2 mgl \left(1 - \cos \alpha \right) ( 12 )$
$m \left(v^{2} + 2 gl \left(1 - \cos \alpha \right)\right) = 2 qEl\sin \alpha ( 13 )$
$m = \frac{2 qEl\sin \alpha }{v^{2} + 2 gl \left(1 - \cos \alpha \right)} ( 14 )$
$m = \frac{2 \times 5 \times 10^{- 9} \times 6 \times 10^{5} \times 0{,}8 \times \sin 30}{0{,}9^{2} + 2 \times 10 \times 0{,}8 \times \left(1 - \cos 30\right)} ( 15 )$
$m \approx 8{,}1 \times 10^{- 4} кг .$

Ответ: m = 8,1·10^-4 кг

Источник: ФИПИ