Задание №22 — Условия равновесия тела

Решение:

Обозначения. $l=0{,}6$ м — длина линейки; $M$ — масса линейки; $m_1=0{,}25$ кг — наибольшая масса груза при вылете $d_1=\dfrac{l}{4}=0{,}15$ м; $m_2=0{,}125$ кг — масса груза во втором случае; $d_2$ — искомый наибольший вылет линейки за край стола; $g$ — ускорение свободного падения.

Физическая модель. Линейка однородна, поэтому её сила тяжести приложена к середине — на расстоянии $\dfrac{l}{2}$ от каждого конца. Груз лежит на самом правом конце линейки. В предельном (критическом) положении линейка ещё покоится, но опирается на стол только по его ребру: именно ребро стола является осью возможного опрокидывания.

Правило моментов относительно ребра стола: сумма моментов сил, действующих на линейку с грузом, равна нулю. Момент силы тяжести груза, вылетевшего за край на расстояние $d$, опрокидывает линейку, момент силы тяжести самой линейки, центр которой находится на столе на расстоянии $\dfrac{l}{2}-d$ от ребра, её удерживает:

$$m g d = M g\left(\frac{l}{2}-d\right)\quad\Rightarrow\quad m d = M\left(\frac{l}{2}-d\right).$$

1. Находим массу линейки. Для первого случая $d_1=\dfrac{l}{4}$, $m=m_1$:

$$m_1\cdot\frac{l}{4} = M\left(\frac{l}{2}-\frac{l}{4}\right)=M\cdot\frac{l}{4}\quad\Rightarrow\quad M=m_1=0{,}25\ \text{кг}.$$

2. Находим вылет для груза $m_2$.

$$m_2 d_2 = M\left(\frac{l}{2}-d_2\right)\quad\Rightarrow\quad d_2\,(m_2+M)=M\cdot\frac{l}{2}\quad\Rightarrow\quad d_2=\frac{M l}{2\,(m_2+M)}.$$

Расчёт.

$$d_2=\frac{0{,}25\cdot 0{,}6}{2\cdot(0{,}125+0{,}25)}=\frac{0{,}15}{0{,}75}=0{,}2\ \text{м}=20\ \text{см}.$$

Результат правдоподобен: груз стал легче, поэтому линейку можно выдвинуть дальше (20 см вместо 15 см), но меньше половины длины $\dfrac{l}{2}=30$ см, как и должно быть.

Ответ: $d_2=0{,}2$ м $=20$ см.