Задание №5 — Сила упругости

#68514Задание №5ФИПИ

Сила упругости. Закон Гука. Вес телаПериод и частота колебаний

Опытным путём установили зависимость модуля силы упругости резинового жгута F от удлинения x, изображенную на графике. Частота малых вертикальных свободных колебаний груза массой m, подвешенного на резиновом жгуте, равна v₀.
Выберите все утверждения, которые соответствуют результатам опыта.

1) Зависимость силы упругости резинового жгута от удлинения подчиняется закону Гука при любых растяжениях.
2) При силе упругости, равной 4mg, удлинение $x = 4 x_{0}$ .
3) При силе упругости, равной 4mg, удлинение $x > 4 x_{0}$ .
4) Частота v малых вертикальных свободных колебаний груза массой 4m на этом жгуте удовлетворяет соотношению $v < \frac{v_{0}}{2}$ .
5) Частота v малых вертикальных свободных колебаний груза массой 4m на этом жгуте удовлетворяет соотношению $v > \frac{v_{0}}{2}$ .

Правильный ответ

Пояснение

Решение:

График $F(x)$ — не прямая, а кривая, выпуклая вверх: с ростом удлинения наклон касательной, то есть жёсткость $k = \dfrac{\Delta F}{\Delta x}$ , уменьшается.

Обозначим через $x_0$ удлинение, при котором $F = mg$ (равновесие груза массой $m$ ).

1) По закону Гука $F = kx$ — это прямая пропорциональность; график прямой не является, значит закон Гука выполняется не при любых растяжениях. Неверно.

2) и 3) Если бы закон Гука выполнялся, силе $4mg$ отвечало бы удлинение $4x_0$ . Но наклон кривой убывает, поэтому каждому следующему приращению силы соответствует всё большее приращение удлинения, и по графику значение $F = 4mg$ достигается при $x \gt 4x_0$ . Утверждение 2 неверно, утверждение 3 верно.

4) и 5) Частота малых вертикальных колебаний груза массой $M$ определяется жёсткостью $k$ вблизи положения равновесия: $\nu = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{M}}$ . Для груза $m$ равновесие отвечает точке $F = mg$ с жёсткостью $k_1$ , и $\nu_0 = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k_1}{m}}$ . Для груза $4m$ равновесие смещается в точку $F = 4mg$ , где наклон графика меньше: $k_2 \lt k_1$ . Тогда

$\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_2}{4m}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_2}{m}} \lt \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_1}{m}} = \frac{\nu_0}{2}.$

Значит, утверждение 4 верно, а 5 неверно.

Ответ: 34