Задание №22 — Второй закон Ньютона

Решение:

Обозначения. $m=1{,}0$ кг — масса бруска; $a=1$ м/с$^2$ — модуль ускорения бруска; $\alpha=30^\circ$ — угол между силой $\vec F$ и горизонтом; $\mu=0{,}2$ — коэффициент трения бруска о плоскость; $N$ — модуль силы нормальной реакции опоры; $F_\text{тр}$ — модуль силы трения скольжения; $g=10$ м/с$^2$ — ускорение свободного падения.

Силы, действующие на брусок: сила тяжести $m\vec g$ (вертикально вниз), сила нормальной реакции $\vec N$ (вертикально вверх), приложенная сила $\vec F$ (вверх под углом $\alpha$ к горизонту) и сила трения скольжения $\vec F_\text{тр}$ (горизонтально, против движения бруска).

Второй закон Ньютона в инерциальной системе отсчёта, связанной с плоскостью:

$$m\vec a = m\vec g + \vec N + \vec F + \vec F_\text{тр}.$$

Ось $Ox$ направим горизонтально по движению бруска, ось $Oy$ — вертикально вверх. В проекциях:

$$Ox:\quad F\cos\alpha - F_\text{тр} = ma,$$

$$Oy:\quad N + F\sin\alpha - mg = 0.$$

Брусок скользит по плоскости, поэтому сила трения — сила трения скольжения:

$$F_\text{тр}=\mu N = \mu\,(mg - F\sin\alpha).$$

Подставим это в уравнение для оси $Ox$:

$$F\cos\alpha - \mu mg + \mu F\sin\alpha = ma,$$

$$F(\cos\alpha + \mu\sin\alpha) = m(a + \mu g),$$

$$F = \frac{m(a+\mu g)}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha}.$$

Расчёт.

$$F = \frac{1{,}0\cdot(1 + 0{,}2\cdot 10)}{\cos 30^\circ + 0{,}2\cdot\sin 30^\circ} = \frac{3}{\dfrac{\sqrt3}{2} + 0{,}2\cdot 0{,}5} = \frac{3}{0{,}866 + 0{,}1} = \frac{3}{0{,}966}\approx 3{,}1\ \text{Н}.$$

С округлением до целых $F\approx 3$ Н. Проверка: при таком значении $N = mg - F\sin\alpha = 10 - 3{,}1\cdot 0{,}5 \approx 8{,}45$ Н $\gt 0$ — брусок действительно не отрывается от плоскости.

Ответ: $F\approx 3$ Н.