Задание №26 — Второй закон Ньютона

Дано: m₁ = 200 г = 0,2 кг; m₂ = 300 г = 0,3 кг; l = 20 см = 0,2 м; v = 600 об/мин = 10 об/ч

Найти: T - ?

Обоснование:
1) Проанализируем движение в лабораторной системе отсчёта, которую примем за инерциальную (ИСО).
2) Совокупность грузов и жёсткого стержня будем трактовать как абсолютно твёрдое тело, в котором дистанция между элементами не меняется.
3) Ввиду пренебрежимо малой массы нити, силы натяжения, действующие на грузы, равны по модулю: T₁ = T₂ = T.
4) К объектам приложены сила тяжести, нормальная реакция опоры и натяжение нити. С учётом вышеизложенного, для описания динамики используем второй закон Ньютона.

Решение:
Запишем уравнение второго закона Ньютона для первого груза:
$T = m_{1} a_{1} ( 1 )$

Аналогично для второго груза:
$T = m_{2} a_{2} ( 2 )$
$a = \frac{V^{2}}{r} ( 3 )$
$V = 2 \pi rv ( 4 )$

Объединим выражения (3) и (4):
$a = \frac{4 \pi^{2} r^{2} v^{2}}{r} = 4 \pi^{2} rv^{2} ( 5 )$

Учитывая неизменность длины нити, общее расстояние между телами складывается из радиусов их орбит:
$l = r_{1} + r_{2} ( 6 )$
$r_{2} = l - r_{1} ( 7 )$

Выразим центростремительные ускорения через радиусы вращения, используя (5):
$a_{1} = 4 \pi^{2} r_{1} v^{2} ( 8 )$
$a_{2} = 4 \pi^{2} v^{2} \left(l - r_{1}\right) ( 9 )$

Сопоставим формулы (1) и (2), подставив в них зависимости (8) и (9):
$4 \pi^{2} r_{1} v^{2} m_{1} = 4 \pi^{2} v^{2} m_{2} \left(l - r_{1}\right) ( 10 )$
$r_{1} = \frac{4 \pi^{2} v^{2} m_{2} l}{4 \pi^{2} v^{2} m_{1} + 4 \pi^{2} v^{2} m_{2}} ( 11 )$
$r_{1} = \frac{m_{2} l}{m_{1} + m_{2}} ( 12 )$

Используя результат (12), определим ускорение из уравнения (8):
$a_{1} = \frac{4 \pi^{2} v^{2} m_{2} l}{m_{1} + m_{2}} ( 13 )$

Теперь подставим полученное значение (13) в исходное уравнение (1):
$T = \frac{4 \pi^{2} v^{2} m_{2} lm_{1}}{m_{1} + m_{2}} ( 14 )$
$T = \frac{4 \cdot 3{,}14^{2} \cdot 10^{2} \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}2}{0{,}2 + 0{,}3}$
$T = 95 Н$

Ответ: T = 95 Н

Источник: ФИПИ