Задание №26 — Сила Архимеда

#68817Задание №26ФИПИ

Второй закон Ньютона: для материальной точки в ИСОЗакон Архимеда. Условие плавания тел

Деревянный шар привязан нитью ко дну цилиндрического сосуда с площадью дна S = 100 см². В сосуд наливают воду так, что шар полностью погружается в жидкость, при этом нить натягивается и действует на шар с силой T. Если нить перерезать, то шар всплывёт, а уровень воды изменится на h = 5 см. Найдите силу натяжения нити T. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

Ваше решениедо 4 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Дано: h = 5 см = 0,05 м; S = 100 см² = 0,01 м²; $\rho$ = 1000 кг/м³

Найти: T - ?

Обоснование:
1) Выберем систему отсчёта, неподвижную относительно Земли, и будем считать её инерциальной (ИСО).
2) Опишем движение объекта, используя физическую модель материальной точки.
3) К телу приложены: сила тяжести, выталкивающая сила (сила Архимеда) и сила натяжения нити. С учётом положений пунктов 1 и 2 правомерно использовать второй закон Ньютона.
4) Согласно условию, шар полностью находится в воде. Трение между поверхностью шара и стенками ёмкости не учитывается. Таким образом, линии действия всех внешних сил, за исключением натяжения нити, проходят через геометрический центр шара. Это означает, что суммарный момент данных сил относительно центральной оси равен нулю. Поскольку в ИСО шар находится в состоянии равновесия, общий момент всех приложенных сил также равен нулю. Из этого следует, что момент силы натяжения нити относительно оси через центр шара равен нулю, а значит, вектор этой силы направлен вдоль прямой, пересекающей центр шара.

Решение:
В первом состоянии шар удерживается нитью у дна. На него влияют три силы: тяжести, Архимеда и натяжения. Запишем условие статического равновесия:
$\left(\overset{\rightarrow}{F}\right)_{a 1} + m \overset{\rightarrow}{g} + \overset{\rightarrow}{T} = 0 ( 1 )$

Спроецируем силы на вертикальную ось Oy, направленную вверх:
$F_{a 1} - T - mg = 0 ( 2 ) ,$ здесь m обозначает массу шара.
$F_{a 1} = \rho gV ( 3 ) ,$ здесь V — полный объём шара.

Объединим выражения (3) и (2):
$\rho gV - T - mg = 0 ( 4 )$

Для второго случая условие равновесия примет вид:
$\left(\overset{\rightarrow}{F}\right)_{a 2} + m \overset{\rightarrow}{g} = 0 ( 5 )$

Запишем проекцию на ось Oy:
$F_{a 2} - mg = 0 ( 6 )$
$F_{a 2} = \rho gV_{1} ( 7 ) ,$ здесь V₁ — объём части шара, находящейся под водой.

Подставим формулу (7) в уравнение (6):
$\rho gV_{1} - mg = 0 ( 8 )$

Рассмотрим совместно уравнения (4) и (8):
$\left\{\begin{matrix} \rho gV - T - mg = 0 ( 9 ) \\ \rho gV_{1} - mg = 0 ( 10 ) \end{matrix}\right.$

Найдём разность между выражениями (9) и (10):
$\rho gV - T - mg - \rho gV_{1} + mg = 0 ( 11 )$
$T = \rho gV - \rho gV_{1} = 0 ( 12 )$
$T = \rho g \left(V - V_{1}\right) = 0 ( 13 )$
$V - V_{1} = Sh ( 14 )$

Используя соотношение (14), преобразуем формулу (13):
$T = \rho gSh ( 15 )$
$T = 1000 \cdot 10 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}01$
$T = 5 Н$

Ответ: T = 5 Н

Источник: ФИПИ