Задание №26 — Закон сохранения механической энергии

Дано: m = 1 кг; R = 2 м; h = 2,5 м; F = 5 Н

Найти: H - ?

Решение:
Запишем второй закон Ньютона, спроецировав силы на ось Ox, которая совпадает с направлением ускорения:
$N + mg\cos \alpha = ma ( 1 )$
$a = \frac{v^{2}}{R} ( 2 )$

Объединим выражения (1) и (2):
$N + mg\cos \alpha = \frac{mv^{2}}{R} ( 3 )$
$v^{2} = \frac{R \left(N + mg\cos \alpha \right)}{m} ( 4 )$
$\cos \alpha = \frac{h - R}{R} ( 5 )$

Используя соотношение (5), преобразуем формулу (4):
$v^{2} = \frac{RN}{m} + \frac{Rmg \left(h - R\right)}{Rm} ( 6 )$
$v^{2} = g \left(h - R\right) + \frac{RN}{m} ( 7 )$

Согласно третьему закону Ньютона:
$N = F ( 8 )$

С учетом равенства (8) получаем:
$v^{2} = g \left(h - R\right) + \frac{RF}{m} ( 9 )$

Применим закон сохранения механической энергии для положения тела на высоте h:
$E_{\pi 1} = E_{\pi} + E_{к} ( 10 )$
$E_{\pi 1} = mgH ( 11 )$
$E_{к} = \frac{mv^{2}}{2} ( 12 )$
$E_{\pi} = mgh ( 13 )$

Подставим выражения (11), (12) и (13) в уравнение (10):
$mgH = \frac{mv^{2}}{2} + mgh ( 14 )$
$gH = \frac{v^{2}}{2} + gh ( 15 )$

Используя результат (9), найдем искомую величину из уравнения (15):
$gH = \frac{g \left(h - R\right) + \frac{RF}{m}}{2} + gh ( 16 )$
$gH = \frac{mg \left(h - R\right) + RF}{2 m} ( 17 )$
$H = \frac{\frac{mg \left(h - R\right) + RF}{2 m} + gh}{g} ( 18 )$
$H = \frac{mg \left(3 h - R\right) + RF}{2 mg} = ( 19 )$
$H = \frac{1 \cdot 10 \left(3 \cdot 2{,}5 - 2\right) + 2 \cdot 5}{2 \cdot 1 \cdot 10}$
$H = 3{,}25 м$

Ответ: Н = 3,25 м

Источник: ФИПИ