Задание №22 — Второй закон Ньютона

Решение:

Обозначения. $m=0{,}2$ кг — масса груза; $k=100$ Н/м — жёсткость пружины; $t=2$ с — время движения лифта; $h=5$ м — расстояние, на которое опустился лифт; $a$ — модуль ускорения лифта (и груза); $F_\text{упр}$ — модуль силы упругости пружины; $x$ — удлинение пружины; $g=10$ м/с$^2$ — ускорение свободного падения.

1. Ускорение. Лифт трогается с места, значит начальная скорость равна нулю, и при равноускоренном движении путь связан со временем кинематическим законом $h=\dfrac{at^{2}}{2}$, откуда

$$a=\frac{2h}{t^{2}}=\frac{2\cdot 5}{2^{2}}=2{,}5\ \text{м/с}^{2}.$$

Лифт разгоняется, двигаясь вниз, поэтому вектор ускорения направлен вертикально вниз. Груз движется вместе с лифтом (колебаниями пренебрегаем), так что его ускорение такое же.

2. Второй закон Ньютона для груза. На груз действуют сила тяжести $m\vec g$ (вертикально вниз) и сила упругости пружины $\vec F_\text{упр}$ (вертикально вверх, вдоль пружины к точке подвеса). В инерциальной системе отсчёта, связанной с землёй,

$$m\vec a = m\vec g + \vec F_\text{упр}.$$

Спроецируем это уравнение на вертикальную ось, направленную вниз (по ускорению):

$$ma = mg - F_\text{упр}\quad\Rightarrow\quad F_\text{упр}=m(g-a).$$

3. Закон Гука. Для пружины $F_\text{упр}=kx$, следовательно

$$x=\frac{F_\text{упр}}{k}=\frac{m(g-a)}{k}.$$

4. Расчёт.

$$x=\frac{0{,}2\cdot(10-2{,}5)}{100}=\frac{1{,}5}{100}=0{,}015\ \text{м}=1{,}5\ \text{см}.$$

Проверка правдоподобия: в неподвижном лифте удлинение было бы $x_0=\dfrac{mg}{k}=0{,}02$ м $=2$ см; при движении вниз с ускорением груз «легчает», и удлинение должно быть меньше — так и получилось.

Ответ: $x=0{,}015$ м $=1{,}5$ см.