Задание №26 — Второй закон Ньютона

Решение:

Обоснование применимости законов. Систему отсчёта, связанную с Землёй (сфера закреплена), считаем инерциальной — в ней справедливы законы Ньютона. Размеры груза $m$ по условию ничтожно малы по сравнению с радиусом сферы, поэтому груз считаем материальной точкой; пока он не оторвался от поверхности, он движется по окружности радиуса $R$ с центром в центре сферы, и его ускорение имеет центростремительную составляющую $\dfrac{v^2}{R}$. Нить лёгкая (её массой и импульсом пренебрегаем) и нерастяжимая, поэтому модуль силы натяжения одинаков вдоль всей нити, а модули скоростей и перемещений грузов $m$ и $M$ в любой момент равны: опускание груза $M$ равно длине дуги, пройденной грузом $m$ по сфере. Трения нет (ни между грузом и сферой, ни между нитью и сферой), сопротивление воздуха не учитываем; сила нормальной реакции работы не совершает (она перпендикулярна скорости), а суммарная работа сил натяжения нерастяжимой нити равна нулю. Поэтому механическая энергия системы сохраняется. Поле тяжести вблизи поверхности Земли считаем однородным. Отрыв груза от сферы означает, что сила нормальной реакции обращается в нуль: $N = 0$.

Обозначения. $m = 100$ г $= 0{,}1$ кг — масса груза на сфере, $M$ — искомая масса подвешенного груза, $R$ — радиус сферы, $\alpha = 30^{\circ} = \dfrac{\pi}{6}$ рад — угол, на который повернулся радиус, проведённый к грузу $m$, от вертикали (пройденная дуга), $v$ — общий модуль скорости грузов в момент отрыва, $N$ — сила нормальной реакции сферы, $T$ — сила натяжения нити, $g$ — ускорение свободного падения.

Рисунок с указанием сил (описание). Груз $m$ находится на сфере в точке, радиус к которой составляет угол $\alpha$ с вертикалью. На него действуют: сила тяжести $m\vec g$ — вертикально вниз; сила нормальной реакции $\vec N$ — вдоль радиуса сферы наружу (от центра); сила натяжения $\vec T$ — по касательной к сфере, в сторону движения (вниз по дуге), так как нить лежит на поверхности сферы. На груз $M$, висящий на вертикальном участке нити, действуют: сила тяжести $M\vec g$ — вниз и сила натяжения $\vec T$ — вверх.

1. Кинематическая связь. Нить нерастяжима и лежит на сфере, поэтому когда груз $m$ проходит по сфере дугу $s = R\alpha$, вертикальный участок нити удлиняется на столько же, и груз $M$ опускается на $s = R\alpha$. Модули скоростей грузов равны: $v_m = v_M = v$.

2. Закон сохранения механической энергии (от начала движения до момента отрыва). Груз $M$ опустился на $R\alpha$, груз $m$ опустился на $R(1 - \cos\alpha)$:

$$MgR\alpha + mgR(1 - \cos\alpha) = \dfrac{(M + m)v^2}{2}.$$

3. Второй закон Ньютона для груза $m$ в момент отрыва, в проекции на радиус (к центру сферы). Сила натяжения направлена по касательной и на радиус проекции не даёт, поэтому

$mg\cos\alpha - N = \dfrac{mv^2}{R}$, а при $N = 0$ получаем $v^2 = gR\cos\alpha$.

4. Решение системы. Подставим $v^2$ в уравнение энергии и сократим на $gR$:

$2M\alpha + 2m(1 - \cos\alpha) = (M + m)\cos\alpha$,

$M(2\alpha - \cos\alpha) = m(3\cos\alpha - 2)$,

$$M = m\,\dfrac{3\cos\alpha - 2}{2\alpha - \cos\alpha}.$$

Ответ не зависит ни от радиуса сферы, ни от $g$, что естественно.

5. Расчёт. При $\alpha = \dfrac{\pi}{6} \approx 0{,}524$ рад и $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$:

$3\cos\alpha - 2 \approx 2{,}598 - 2 = 0{,}598$; $\quad 2\alpha - \cos\alpha \approx 1{,}047 - 0{,}866 = 0{,}181$;

$M \approx 0{,}1 \cdot \dfrac{0{,}598}{0{,}181} \approx 0{,}1 \cdot 3{,}3 \approx 0{,}33$ кг.

Ответ: $M \approx 0{,}33$ кг $\approx 330$ г.