Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $\frac{-10}{(x-3)^2-5} \geq 0$.

Шаг 1. Анализ знака дроби.
Дробь $\frac{a}{b}$ больше или равна нулю, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки (и знаменатель не равен нулю).
В нашем случае числитель равен $-10$. Это отрицательное число ($-10 < 0$).
Чтобы вся дробь была больше или равна нулю ($\geq 0$), знаменатель обязан быть отрицательным. При этом знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Следовательно, исходное неравенство равносильно условию:
$(x-3)^2 - 5 < 0$

Шаг 2. Решение полученного неравенства.
Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Заметим, что $5 = (\sqrt{5})^2$.
$(x-3)^2 - (\sqrt{5})^2 < 0$
$(x - 3 - \sqrt{5})(x - 3 + \sqrt{5}) < 0$

Шаг 3. Метод интервалов.
Найдём корни выражения в левой части, приравняв каждую скобку к нулю:
1) $x - 3 - \sqrt{5} = 0 \Rightarrow x_1 = 3 + \sqrt{5}$
2) $x - 3 + \sqrt{5} = 0 \Rightarrow x_2 = 3 - \sqrt{5}$

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 3-\sqrt{5})$, $(3-\sqrt{5}; 3+\sqrt{5})$ и $(3+\sqrt{5}; +\infty)$.
Так как перед $x^2$ стоит положительный коэффициент (после раскрытия скобок будет $x^2 - 6x + 4$), ветви соответствующей параболы направлены вверх. Значит, выражение принимает отрицательные значения между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал:
$3 - \sqrt{5} < x < 3 + \sqrt{5}$

Или в виде промежутка: $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$.

Ответ: $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$

Источник: ФИПИ