Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $\frac{-14}{(x-3)^2 - 2} \geq 0$.

1. Проанализируем структуру дроби. В числителе стоит отрицательное число $-14$. Чтобы вся дробь была больше или равна нулю, знаменатель должен быть отрицательным. При этом знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

2. Таким образом, исходное неравенство равносильно строгому неравенству для знаменателя:
$(x-3)^2 - 2 < 0$

3. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Заметим, что $2 = (\sqrt{2})^2$:
$(x-3 - \sqrt{2})(x-3 + \sqrt{2}) < 0$

4. Найдём корни уравнения $(x-3 - \sqrt{2})(x-3 + \sqrt{2}) = 0$:
$x_1 = 3 + \sqrt{2}$
$x_2 = 3 - \sqrt{2}$

5. Решим полученное квадратичное неравенство методом интервалов. Нарисуем числовую прямую и отметим на ней точки $3 - \sqrt{2}$ и $3 + \sqrt{2}$ (точки выколотые, так как неравенство строгое).
Графиком функции $f(x) = (x-3)^2 - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, выражение принимает отрицательные значения между корнями.

6. Получаем интервал: $3 - \sqrt{2} < x < 3 + \sqrt{2}$.
В виде промежутка это записывается как $(3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2})$.

Ответ: $(3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2})$

Источник: ФИПИ