Задание №7 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся законом всемирного тяготения. Согласно этому закону, два тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между их центрами.

Дано:
$m_{1}' = 3m_{1}$ (масса первого шара увеличилась в 3 раза)
$m_{2}' = 3m_{2}$ (масса второго шара увеличилась в 3 раза)
$r' = 2r$ (расстояние между центрами увеличилось в 2 раза)
$\frac{F'}{F} - ?$

Физический закон и вывод формулы:
Запишем формулу для модуля силы тяготения в первом (начальном) случае:
$F = G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r^{2}}$, где $G$ — гравитационная постоянная.

Запишем формулу для модуля силы тяготения во втором случае, подставив измененные значения масс и расстояния:
$F' = G \cdot \frac{m_{1}' \cdot m_{2}'}{(r')^{2}}$

Подставим новые значения через старые:
$F' = G \cdot \frac{(3m_{1}) \cdot (3m_{2})}{(2r)^{2}}$

Раскроем скобки и возведем в квадрат:
$F' = G \cdot \frac{9 \cdot m_{1} \cdot m_{2}}{4 \cdot r^{2}}$
$F' = \frac{9}{4} \cdot \left( G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r^{2}} \right)$

Заметим, что выражение в скобках — это начальная сила $F$. Следовательно:
$F' = \frac{9}{4} \cdot F$

Вычисления:
Чтобы найти, во сколько раз увеличится сила, найдем отношение $\frac{F'}{F}$:
$\frac{F'}{F} = \frac{9}{4} = 2,25$

Таким образом, сила тяготения увеличится в $2,25$ раза.

Ответ: 2,25

Источник: ФИПИ