Задание №22 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи проанализируем превращение энергии. Падающая вода обладает потенциальной энергией, которая на ГЭС преобразуется в электрическую энергию. Часть этой энергии (с учётом КПД) расходуется на работу электрической лампы в течение определённого времени.

Дано:
$h = 20 \text{ м}$
$\eta = 90\% = 0,9$
$P = 40 \text{ Вт}$
$m = 8 \text{ т} = 8000 \text{ кг}$
$g = 10 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)
Найти:
$t - ?$

Математическая модель и вычисления:

1. Полная энергия, которой обладает вода на вершине плотины, — это её потенциальная энергия:
$E_{\text{полн}} = mgh$

2. Полезная электрическая энергия $A_{\text{полез}}$, которую вырабатывает ГЭС, определяется через коэффициент полезного действия (КПД):
$\eta = \frac{A_{\text{полез}}}{E_{\text{полн}}}$
Отсюда: $A_{\text{полез}} = \eta \cdot E_{\text{полн}} = \eta mgh$

3. С другой стороны, работа электрического тока (энергия, потребляемая лампой) выражается через её мощность $P$ и время работы $t$:
$A_{\text{полез}} = P \cdot t$

4. Приравняем выражения для полезной энергии и выведем формулу для времени:
$P \cdot t = \eta mgh$
$t = \frac{\eta mgh}{P}$

5. Подставим числовые значения в полученную формулу (время получится в секундах):
$t = \frac{0,9 \cdot 8000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 20 \text{ м}}{40 \text{ Вт}}$
$t = \frac{1440000}{40} \text{ с} = 36000 \text{ с}$

6. Переведём полученное время из секунд в часы. Так как в 1 часе 3600 секунд:
$t_{\text{ч}} = \frac{36000 \text{ с}}{3600 \text{ с/ч}} = 10 \text{ ч}$

Проверка размерности:
$[t] = \frac{1 \cdot \text{кг} \cdot \text{м/с}^2 \cdot \text{м}}{\text{Вт}} = \frac{\text{Н} \cdot \text{м}}{\text{Дж/с}} = \frac{\text{Дж}}{\text{Дж/с}} = \text{с}$

Ответ: 10 ч

Источник: ФИПИ