Задание №22 — ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Дано:
$P_1 = P_2 = P = 600$ Вт — номинальная мощность одного нагревателя;
$\Delta t = 30$ °C — изменение температуры воды;
$\tau = 14$ мин $= 14 \cdot 60 = 840$ с — время работы нагревателей;
$c = 4200$ Дж/(кг·°C) — удельная теплоёмкость воды;
Нагреватели соединены последовательно.
Потери энергии отсутствуют ($\eta = 100\%$).
--------------------
$m - ?$

Анализ и формулы:
1. При последовательном соединении двух одинаковых нагревателей их общее сопротивление $R_{общ}$ равно сумме сопротивлений каждого нагревателя:
$R_{общ} = R + R = 2R$.
2. Мощность одного нагревателя при номинальном напряжении $U$ выражается формулой:
$P = \frac{U^2}{R}$. Отсюда сопротивление одного нагревателя $R = \frac{U^2}{P}$.
3. Общая мощность системы при последовательном соединении в ту же сеть с напряжением $U$:
$P_{общ} = \frac{U^2}{R_{общ}} = \frac{U^2}{2R}$.
Подставим выражение для $R$:
$P_{общ} = \frac{U^2}{2 \cdot \frac{U^2}{P}} = \frac{P}{2}$.
Таким образом, общая мощность двух последовательно соединенных одинаковых нагревателей в 2 раза меньше мощности одного нагревателя: $P_{общ} = 300$ Вт.
4. Количество теплоты $Q_{пол}$, необходимое для нагрева воды массой $m$:
$Q_{пол} = c \cdot m \cdot \Delta t$.
5. Работа электрического тока $A$, совершаемая системой нагревателей за время $\tau$:
$A = P_{общ} \cdot \tau = \frac{P}{2} \cdot \tau$.
6. Так как потерями энергии пренебрегаем, то $Q_{пол} = A$:
$c \cdot m \cdot \Delta t = \frac{P \cdot \tau}{2}$.
7. Выведем рабочую формулу для массы воды:
$m = \frac{P \cdot \tau}{2 \cdot c \cdot \Delta t}$.

Вычисления:
Подставим числовые значения в полученную формулу:
$m = \frac{600 \text{ Вт} \cdot 840 \text{ с}}{2 \cdot 4200 \text{ Дж/(кг·°C)} \cdot 30 \text{ °C}}$;
$m = \frac{504000}{252000} = 2$ кг.

Проверка размерности:
$[m] = \frac{\text{Вт} \cdot \text{с}}{\frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot \text{°C}} = \frac{\text{Дж}}{\frac{\text{Дж}}{\text{кг}}} = \text{кг}$.

Ответ: 2 кг.

Источник: ФИПИ