Задание №22 — ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи нам необходимо связать электрические характеристики реостата (напряжение и силу тока) с его геометрическими параметрами (длиной и площадью сечения), чтобы в итоге найти массу проволоки.

Дано:
$S = 1 \text{ мм}^2 = 1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$
$U = 24 \text{ В}$
$I = 3 \text{ А}$
$\rho_{пл} = 8800 \text{ кг/м}^3$ (плотность никелина)
$\rho_{уд} = 0,4 \text{ Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м} = 0,4 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$ (удельное электрическое сопротивление никелина из справочных данных)
Найти: $m - ?$

Математическая модель и вычисления:

1. Согласно закону Ома для участка цепи, сопротивление реостата $R$ можно найти через напряжение $U$ и силу тока $I$:
$R = \frac{U}{I}$

2. С другой стороны, сопротивление проводника зависит от его материала и геометрических размеров:
$R = \rho_{уд} \cdot \frac{l}{S}$, где $l$ — длина проволоки, $S$ — площадь её поперечного сечения.

3. Приравняем правые части формул для сопротивления:
$\frac{U}{I} = \rho_{уд} \cdot \frac{l}{S}$
Отсюда выразим длину проволоки $l$:
$l = \frac{U \cdot S}{I \cdot \rho_{уд}}$

4. Масса проволоки $m$ определяется через её плотность $\rho_{пл}$ и объём $V$:
$m = \rho_{пл} \cdot V$
Так как проволока имеет форму цилиндра, её объём равен произведению площади сечения на длину:
$V = S \cdot l$
Следовательно: $m = \rho_{пл} \cdot S \cdot l$

5. Подставим выражение для длины $l$ в формулу массы:
$m = \rho_{пл} \cdot S \cdot \frac{U \cdot S}{I \cdot \rho_{уд}} = \frac{\rho_{пл} \cdot U \cdot S^2}{I \cdot \rho_{уд}}$

6. Проверим размерность полученной формулы:
$[m] = \frac{\text{кг/м}^3 \cdot \text{В} \cdot (\text{м}^2)^2}{\text{А} \cdot \text{Ом} \cdot \text{м}} = \frac{\text{кг} \cdot \text{В} \cdot \text{м}^4}{\text{м}^3 \cdot \text{А} \cdot \text{Ом} \cdot \text{м}} = \frac{\text{кг} \cdot \text{В}}{\text{А} \cdot \text{Ом}} = \frac{\text{кг} \cdot \text{В}}{\text{В}} = \text{кг}$

7. Выполним расчет, используя значения в системе СИ:
$m = \frac{8800 \cdot 24 \cdot (1 \cdot 10^{-6})^2}{3 \cdot 0,4 \cdot 10^{-6}} = \frac{8800 \cdot 24 \cdot 10^{-12}}{1,2 \cdot 10^{-6}} = \frac{211200 \cdot 10^{-12}}{1,2 \cdot 10^{-6}} = 176000 \cdot 10^{-6} \text{ кг} = 0,176 \text{ кг}$

Переведем в граммы для удобства: $0,176 \text{ кг} = 176 \text{ г}$.

Ответ: $m = 0,176 \text{ кг}$ (или $176 \text{ г}$).

Источник: ФИПИ