Задание №22 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Дано:
$v_{1} = 400 \text{ м/с}$
$t_{1} = 50 \text{ }^{\circ}\text{C}$
$t_{2} = 300 \text{ }^{\circ}\text{C}$
$c = 140 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{}^{\circ}\text{C)}$
$Q = |\Delta E_{кин}|$ (по условию всё тепло поглощается пулей)
$v_{2} - ?$

Рассуждение и законы:
1. При движении пули сквозь стенку её кинетическая энергия уменьшается из-за работы сил сопротивления. Согласно закону сохранения и превращения энергии, изменение механической энергии пули переходит во внутреннюю энергию (пуля нагревается).
2. Изменение кинетической энергии пули равно: $\Delta E_{кин} = \frac{mv_{2}^{2}}{2} - \frac{mv_{1}^{2}}{2}$.
Так как скорость уменьшается, модуль изменения энергии (количество выделившейся теплоты) равен: $Q = \frac{mv_{1}^{2}}{2} - \frac{mv_{2}^{2}}{2}$.
3. Количество теплоты, необходимое для нагревания пули, вычисляется по формуле: $Q = cm(t_{2} - t_{1})$.
4. По условию задачи вся теплота, выделившаяся при торможении, пошла на нагрев пули. Приравняем эти выражения.

Вывод формулы:
$\frac{mv_{1}^{2}}{2} - \frac{mv_{2}^{2}}{2} = cm(t_{2} - t_{1})$
Разделим обе части уравнения на массу $m$ (она сокращается, так как не равна нулю):
$\frac{v_{1}^{2}}{2} - \frac{v_{2}^{2}}{2} = c(t_{2} - t_{1})$
Умножим всё уравнение на 2:
$v_{1}^{2} - v_{2}^{2} = 2c(t_{2} - t_{1})$
Выразим квадрат конечной скорости:
$v_{2}^{2} = v_{1}^{2} - 2c(t_{2} - t_{1})$
Следовательно, искомая скорость:
$v_{2} = \sqrt{v_{1}^{2} - 2c(t_{2} - t_{1})}$

Вычисления:
$v_{2} = \sqrt{400^{2} - 2 \cdot 140 \cdot (300 - 50)}$
$v_{2} = \sqrt{160000 - 280 \cdot 250}$
$v_{2} = \sqrt{160000 - 70000}$
$v_{2} = \sqrt{90000} = 300 \text{ м/с}$

Проверка размерности:
$[v_{2}] = \sqrt{(\text{м/с})^{2} - \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{}^{\circ}\text{C}} \cdot \text{}^{\circ}\text{C}} = \sqrt{\frac{\text{м}^{2}}{\text{с}^{2}} - \frac{\text{кг}\cdot\text{м}^{2}/\text{с}^{2}}{\text{кг}}} = \sqrt{\frac{\text{м}^{2}}{\text{с}^{2}}} = \text{м/с}$

Ответ: $v_{2} = 300 \text{ м/с}$

Источник: ФИПИ