Задание №22 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Дано:
$m_{1} = 2 \text{ кг}$
$v_{1} = 4 \text{ м/с}$
$m_{2} = 3 \text{ кг}$
$v_{2} = 4 \text{ м/с}$
Шары движутся навстречу друг другу.
Удар абсолютно неупругий (движутся как одно целое).
Найти:
$Q - ?$

1. Определение скорости после удара.
При соударении тел выполняется закон сохранения импульса. Выберем ось $Ox$ вдоль направления движения первого шара. Так как шары движутся навстречу друг другу, проекция скорости второго шара будет отрицательной.
Запишем закон сохранения импульса в векторном виде:
$m_{1}\vec{v}_{1} + m_{2}\vec{v}_{2} = (m_{1} + m_{2})\vec{u}$, где $\vec{u}$ — скорость шаров после удара.
В проекции на ось $Ox$:
$m_{1}v_{1} - m_{2}v_{2} = (m_{1} + m_{2})u$
Отсюда выразим скорость $u$:
$u = \frac{m_{1}v_{1} - m_{2}v_{2}}{m_{1} + m_{2}}$
Подставим значения:
$u = \frac{2 \text{ кг} \cdot 4 \text{ м/с} - 3 \text{ кг} \cdot 4 \text{ м/с}}{2 \text{ кг} + 3 \text{ кг}} = \frac{8 - 12}{5} = -0,8 \text{ м/с}$.
Знак «минус» означает, что после удара слипшиеся шары будут двигаться в сторону, куда изначально двигался второй (более тяжелый) шар. Для расчета энергии нам понадобится модуль скорости: $|u| = 0,8 \text{ м/с}$.

2. Расчет выделившейся теплоты.
Согласно закону сохранения энергии, кинетическая энергия системы до удара частично переходит в кинетическую энергию системы после удара, а остальная часть выделяется в виде теплоты $Q$:
$E_{k1} + E_{k2} = E_{k} + Q$
Следовательно, количество теплоты равно разности суммарной кинетической энергии до и после удара:
$Q = \left( \frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2} \right) - \frac{(m_{1} + m_{2})u^{2}}{2}$

3. Вычисления.
$Q = \left( \frac{2 \cdot 4^{2}}{2} + \frac{3 \cdot 4^{2}}{2} \right) - \frac{(2 + 3) \cdot (-0,8)^{2}}{2}$
$Q = (16 + 24) - \frac{5 \cdot 0,64}{2} = 40 - \frac{3,2}{2} = 40 - 1,6 = 38,4 \text{ Дж}$.

Ответ: $Q = 38,4 \text{ Дж}$

Источник: ФИПИ