Задание №22 — ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи запишем условие и переведём все величины в систему СИ.

Дано:
$n = 2$ (количество нагревателей)
$V = 1 \text{ л} = 10^{-3} \text{ м}^3$
$\Delta t = 80 \text{ }^\circ\text{C}$
$\tau = 14 \text{ мин} = 840 \text{ с}$
$\rho = 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)
$c = 4200 \text{ Дж/(кг}\cdot^\circ\text{C)}$ (удельная теплоёмкость воды)
$R_1 = R_2 = R$ (сопротивления нагревателей равны)
Найти:
$P - ?$ (мощность одного нагревателя при номинальном напряжении $U$)

Рассуждения и формулы:

1. Количество теплоты $Q$, необходимое для нагрева воды, определяется формулой:
$Q = c \cdot m \cdot \Delta t$
Массу воды $m$ найдём через плотность и объём: $m = \rho \cdot V$.
Тогда $Q = c \cdot \rho \cdot V \cdot \Delta t$.

2. Согласно закону Джоуля-Ленца, количество теплоты, выделяемое нагревателями, равно:
$Q = P_{\text{общ}} \cdot \tau$, где $P_{\text{общ}}$ — общая мощность цепи при последовательном соединении.

3. При последовательном соединении двух одинаковых сопротивлений $R$, общее сопротивление цепи равно:
$R_{\text{общ}} = R + R = 2R$.
Общая мощность при напряжении в сети $U$ составит:
$P_{\text{общ}} = \frac{U^2}{R_{\text{общ}}} = \frac{U^2}{2R}$.

4. Мощность одного нагревателя при том же напряжении $U$ (номинальная мощность) равна:
$P = \frac{U^2}{R}$.
Следовательно, $P_{\text{общ}} = \frac{P}{2}$.

5. Составим уравнение теплового баланса (так как потерями энергии пренебрегаем):
$\frac{P}{2} \cdot \tau = c \cdot \rho \cdot V \cdot \Delta t$.

6. Выразим искомую мощность одного нагревателя $P$:
$P = \frac{2 \cdot c \cdot \rho \cdot V \cdot \Delta t}{\tau}$.

Вычисления:
$P = \frac{2 \cdot 4200 \text{ Дж/(кг}\cdot^\circ\text{C)} \cdot 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 0,001 \text{ м}^3 \cdot 80 \text{ }^\circ\text{C}}{840 \text{ с}}$
$P = \frac{2 \cdot 4200 \cdot 1 \cdot 80}{840} = \frac{672000}{840} = 800 \text{ Вт}$.

Проверим размерность:
$[P] = \frac{\text{Дж/(кг}\cdot^\circ\text{C)} \cdot \text{кг/м}^3 \cdot \text{м}^3 \cdot ^\circ\text{C}}{\text{с}} = \frac{\text{Дж}}{\text{с}} = \text{Вт}$.

Ответ: 800 Вт

Источник: ФИПИ