Задание №22 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения и превращения энергии. При прохождении пули через преграду её кинетическая энергия уменьшается. Разность между начальной и конечной кинетическими энергиями идёт на совершение работы по разрушению преграды и на выделение количества теплоты.

Дано:
$v_{1} = 200 \text{ м/с}$
$v_{2} = 100 \text{ м/с}$
$\eta = 65\% = 0,65$
$c = 130 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{°C)}$ (удельная теплоёмкость свинца — табличное значение)
$\Delta t - ?$

Математическая модель и вычисления:

1. Изменение кинетической энергии пули $\Delta E_{k}$ равно разности её начальной и конечной энергий:
$\Delta E_{k} = \frac{m \cdot v_{1}^{2}}{2} - \frac{m \cdot v_{2}^{2}}{2} = \frac{m}{2} \cdot (v_{1}^{2} - v_{2}^{2})$, где $m$ — масса пули.

2. По условию задачи, на нагревание пули идёт часть выделившейся энергии (теплоты), равная $\eta$. Обозначим количество теплоты, полученное пулей, как $Q$:
$Q = \eta \cdot \Delta E_{k}$

3. С другой стороны, количество теплоты, необходимое для нагревания пули на $\Delta t$, вычисляется по формуле:
$Q = c \cdot m \cdot \Delta t$

4. Приравняем выражения для $Q$:
$c \cdot m \cdot \Delta t = \eta \cdot \frac{m}{2} \cdot (v_{1}^{2} - v_{2}^{2})$

5. Заметим, что масса $m$ сокращается в обеих частях уравнения. Выразим искомую разность температур $\Delta t$:
$\Delta t = \frac{\eta \cdot (v_{1}^{2} - v_{2}^{2})}{2 \cdot c}$

6. Подставим числовые значения в полученную рабочую формулу:
$\Delta t = \frac{0,65 \cdot (200^{2} - 100^{2})}{2 \cdot 130} = \frac{0,65 \cdot (40000 - 10000)}{260} = \frac{0,65 \cdot 30000}{260} = \frac{19500}{260} = 75 \text{ °C}$

Проверим размерность:
$[\Delta t] = \frac{1 \cdot (\text{м/с})^{2}}{\text{Дж/(кг}\cdot\text{°C)}} = \frac{\text{м}^{2}/\text{с}^{2}}{(\text{кг}\cdot\text{м}^{2}/\text{с}^{2})/(\text{кг}\cdot\text{°C})} = \frac{\text{м}^{2}/\text{с}^{2}}{\text{м}^{2}/(\text{с}^{2}\cdot\text{°C})} = \text{°C}$.
Размерность совпадает.

Ответ: $\Delta t = 75 \text{ °C}$

Источник: ФИПИ