Задание №21 — ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Дано:
$R_1 = R_2 = R_3 = R$ — сопротивления резисторов;
$U_1 = U_2 = U$ — напряжение сети постоянно;
$t_1 = 1$ мин. (или $60$ с);
$Q_1 = Q_2 = Q$ — количество потребляемой энергии одинаково.
Найти:
$t_2$ — ?

Анализ и формулы:
1. Количество теплоты (электрическая энергия), выделяемое в цепи, определяется законом Джоуля-Ленца. Так как напряжение в обоих случаях одинаково, удобно использовать формулу:
$Q = \frac{U^2}{R_{общ}} \cdot t$,
где $U$ — напряжение сети, $R_{общ}$ — общее сопротивление цепи, $t$ — время протекания тока.

2. Рассмотрим первый случай (параллельное соединение). При параллельном соединении $n$ одинаковых резисторов общее сопротивление $R_{пар}$ вычисляется как:
$R_{пар} = \frac{R}{3}$.
Тогда энергия, потребляемая за время $t_1$:
$Q_1 = \frac{U^2}{R/3} \cdot t_1 = \frac{3 \cdot U^2}{R} \cdot t_1$.

3. Рассмотрим второй случай (последовательное соединение). При последовательном соединении общее сопротивление $R_{посл}$ равно сумме сопротивлений:
$R_{посл} = R + R + R = 3R$.
Тогда энергия, потребляемая за время $t_2$:
$Q_2 = \frac{U^2}{3R} \cdot t_2$.

4. По условию задачи $Q_1 = Q_2$. Приравняем правые части выражений:
$\frac{3 \cdot U^2}{R} \cdot t_1 = \frac{U^2}{3R} \cdot t_2$.

5. Сократим обе части уравнения на $\frac{U^2}{R}$:
$3 \cdot t_1 = \frac{t_2}{3}$.
Отсюда выразим искомое время:
$t_2 = 3 \cdot 3 \cdot t_1 = 9 \cdot t_1$.

Вычисления:
$t_2 = 9 \cdot 1 \text{ мин.} = 9 \text{ мин.}$
Или в секундах: $t_2 = 9 \cdot 60 \text{ с} = 540 \text{ с}$.

Ответ: 9 мин. (или 540 с).

Источник: ФИПИ