Задание №21 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Дано:
$a = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$ — ребро кубика;
$h_1 = 2 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$ — глубина погружения в воду;
$\rho_k = 840 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ — плотность кубика;
$\rho_w = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ — плотность воды;
$g = 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$ — ускорение свободного падения.
Найти:
$\rho_x$ — плотность неизвестной жидкости.

Анализ и физические законы:
1. Кубик находится в равновесии (плавает), значит, согласно первому закону Ньютона, сумма сил, действующих на него, равна нулю. На кубик действуют: сила тяжести $F_g$, направленная вниз, и две выталкивающие силы (силы Архимеда) со стороны воды $F_{A1}$ и со стороны неизвестной жидкости $F_{A2}$, направленные вверх.
Условие равновесия: $F_g = F_{A1} + F_{A2}$.
2. Сила тяжести кубика: $F_g = m \cdot g = \rho_k \cdot V \cdot g$, где $V = a^3$ — полный объём кубика.
3. Сила Архимеда со стороны воды: $F_{A1} = \rho_w \cdot g \cdot V_1$, где $V_1 = a^2 \cdot h_1$ — объём части кубика, погружённой в воду.
4. Сила Архимеда со стороны неизвестной жидкости: $F_{A2} = \rho_x \cdot g \cdot V_2$, где $V_2 = a^2 \cdot h_2$ — объём части кубика, погружённой в неизвестную жидкость.
5. Так как кубик полностью находится в двух жидкостях, сумма высот погружённых частей равна ребру кубика: $h_1 + h_2 = a$, откуда $h_2 = a - h_1$.

Вывод формулы:
Подставим выражения для сил в уравнение равновесия:
$\rho_k \cdot a^3 \cdot g = \rho_w \cdot g \cdot a^2 \cdot h_1 + \rho_x \cdot g \cdot a^2 \cdot (a - h_1)$
Разделим обе части уравнения на $g \cdot a^2$:
$\rho_k \cdot a = \rho_w \cdot h_1 + \rho_x \cdot (a - h_1)$
Выразим плотность неизвестной жидкости $\rho_x$:
$\rho_x \cdot (a - h_1) = \rho_k \cdot a - \rho_w \cdot h_1$
$\rho_x = \frac{\rho_k \cdot a - \rho_w \cdot h_1}{a - h_1}$

Вычисления:
Высота части кубика в неизвестной жидкости: $h_2 = 0,1 \text{ м} - 0,02 \text{ м} = 0,08 \text{ м}$.
$\rho_x = \frac{840 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0,1 \text{ м} - 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0,02 \text{ м}}{0,08 \text{ м}}$
$\rho_x = \frac{84 - 20}{0,08} = \frac{64}{0,08} = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Проверка размерности:
$[\rho_x] = \frac{\frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \text{м} - \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \text{м}}{\text{м}} = \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$. Результат соответствует плотности.

Ответ: $800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Источник: ФИПИ