Задание №22 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения и превращения энергии. При прохождении пули сквозь стенку её кинетическая энергия уменьшается. Согласно условию, вся энергия, потерянная пулей из-за трения о стенку, превращается во внутреннюю энергию пули (идёт на её нагрев).

Дано:
$v_{1} = 400$ м/с — начальная скорость пули
$v_{2} = 300$ м/с — конечная скорость пули
$c = 140$ Дж/(кг $\cdot$ °С) — удельная теплоёмкость вещества пули
$Q = |\Delta E_{k}|$ — условие задачи (всё тепло поглощается пулей)
_________________
$\Delta t - ?$

Математическое описание и расчёты:

1. Изменение кинетической энергии пули $\Delta E_{k}$ равно разности её конечной и начальной кинетических энергий:
$\Delta E_{k} = \frac{m \cdot v_{2}^{2}}{2} - \frac{m \cdot v_{1}^{2}}{2}$, где $m$ — масса пули.

2. Количество теплоты $Q$, выделившееся при торможении и пошедшее на нагрев, равно модулю изменения кинетической энергии:
$Q = \frac{m \cdot v_{1}^{2}}{2} - \frac{m \cdot v_{2}^{2}}{2} = \frac{m}{2} \cdot (v_{1}^{2} - v_{2}^{2})$.

3. С другой стороны, количество теплоты, необходимое для нагрева тела массой $m$ на $\Delta t$ градусов, вычисляется по формуле:
$Q = c \cdot m \cdot \Delta t$.

4. Приравняем правые части выражений для $Q$:
$c \cdot m \cdot \Delta t = \frac{m}{2} \cdot (v_{1}^{2} - v_{2}^{2})$.

5. Заметим, что масса $m$ входит в обе части уравнения, поэтому мы можем на неё сократить:
$c \cdot \Delta t = \frac{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}}{2}$.

6. Выразим искомую величину $\Delta t$:
$\Delta t = \frac{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}}{2 \cdot c}$.

7. Подставим числовые значения в полученную формулу:
$\Delta t = \frac{400^{2} - 300^{2}}{2 \cdot 140} = \frac{160000 - 90000}{280} = \frac{70000}{280} = \frac{7000}{28} = 250$ °С.

Проверим размерность:
$[\Delta t] = \frac{(м/с)^{2}}{Дж/(кг \cdot °С)} = \frac{м^{2}/с^{2}}{(кг \cdot м^{2}/с^{2})/(кг \cdot °С)} = \frac{м^{2}/с^{2}}{м^{2}/(с^{2} \cdot °С)} = °С$.
Размерность совпадает.

Ответ: пуля нагреется на 250 °С.

Источник: ФИПИ