Задание №22 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Дано:
$h = 100 \text{ м}$
$t_2 = 20 \text{ }^\circ\text{C}$
$\eta = 84\% = 0,84$
$g = 10 \text{ м/с}^2$
$c = 4200 \text{ Дж/(кг}\cdot^\circ\text{C)}$ (удельная теплоемкость воды)
--------------------
$t_1 - ?$

Анализ и физические законы:
1. При падении воды с высоты $h$ её потенциальная энергия $E_p$ превращается в кинетическую, а при ударе о подножие водопада — во внутреннюю энергию (теплоту).
2. Потенциальная энергия воды массой $m$ на вершине водопада равна: $E_p = mgh$.
3. Количество теплоты $Q$, которое пошло на нагревание воды, определяется по формуле: $Q = cm(t_2 - t_1)$, где $t_1$ — начальная температура у вершины, $t_2$ — конечная температура у основания.
4. Согласно условию задачи, на нагревание воды идет только часть потенциальной энергии, определяемая коэффициентом полезного действия (КПД) $\eta$:
$Q = \eta \cdot E_p$.

Вывод формулы:
Подставим выражения для $Q$ и $E_p$ в уравнение баланса энергии:
$cm(t_2 - t_1) = \eta \cdot mgh$
Заметим, что масса $m$ сокращается в обеих частях уравнения:
$c(t_2 - t_1) = \eta gh$
Выразим изменение температуры $\Delta t = t_2 - t_1$:
$t_2 - t_1 = \frac{\eta gh}{c}$
Отсюда искомая начальная температура $t_1$:
$t_1 = t_2 - \frac{\eta gh}{c}$

Вычисления:
Подставим числовые значения в полученную формулу:
$t_1 = 20 \text{ }^\circ\text{C} - \frac{0,84 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 100 \text{ м}}{4200 \text{ Дж/(кг}\cdot^\circ\text{C)}}$
$t_1 = 20 \text{ }^\circ\text{C} - \frac{840}{4200} \text{ }^\circ\text{C}$
$t_1 = 20 \text{ }^\circ\text{C} - 0,2 \text{ }^\circ\text{C} = 19,8 \text{ }^\circ\text{C}$

Проверка размерности:
$[t_1] = ^\circ\text{C} - \frac{\frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \text{м}}{\frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot^\circ\text{C}}} = ^\circ\text{C} - \frac{\frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}}{\frac{\text{кг}\cdot\text{м}^2/\text{с}^2}{\text{кг}\cdot^\circ\text{C}}} = ^\circ\text{C} - ^\circ\text{C} = ^\circ\text{C}$

Ответ: $t_1 = 19,8 \text{ }^\circ\text{C}$

Источник: ФИПИ