Задание №14 — Анализ выражений

Решение:

Распишем операнды по степеням основания 15:

$123x5_{15} = 1 \cdot 15^4 + 2 \cdot 15^3 + 3 \cdot 15^2 + x \cdot 15 + 5$,

$1x233_{15} = 1 \cdot 15^4 + x \cdot 15^3 + 2 \cdot 15^2 + 3 \cdot 15 + 3$.

Сумма: $S = 2 \cdot 15^4 + (x + 2) \cdot 15^3 + 5 \cdot 15^2 + (x + 3) \cdot 15 + 8$.

Заметим, что $15 \equiv 1 \pmod{14}$, поэтому и все степени пятнадцати дают остаток 1. Тогда сумма сравнима с суммой своих коэффициентов:

$S \equiv 2 + (x + 2) + 5 + (x + 3) + 8 = 2x + 20 \pmod{14}$.

Условие $2x + 20 \equiv 0 \pmod{14}$ равносильно $x + 10 \equiv 0 \pmod 7$, то есть $x \equiv 4 \pmod 7$. В алфавите 15-ричной системы (цифры $0 \ldots 14$) подходят $x = 4$ и $x = 11$; наименьшее — $x = 4$.

При $x = 4$: $S = 2 \cdot 50625 + 6 \cdot 3375 + 5 \cdot 225 + 7 \cdot 15 + 8 = 122738$, и $122738 : 14 = 8767$.

for x in range(15):
    a = 15**4 + 2*15**3 + 3*15**2 + x*15 + 5
    b = 15**4 + x*15**3 + 2*15**2 + 3*15 + 3
    if (a + b) % 14 == 0:
        print(x, (a + b) // 14)

Ответ: 8767