Задание 14

Знание позиционных систем счисления · 28 заданий

Задание №14
№14
Определите количество цифр с числовым значением, превышающим 9, в 27-ричной записи числа, заданного выражением: 2 · 729²⁰¹⁴ + 2 · 243²⁰¹⁶ – 2 · 81²⁰¹⁸…
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15. 123 x 5₁₅ + 1 x 233₁₅ В записи чисел переменной x обозначена неизвест…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 3 · 4³⁸ + 2 · 4²³ + 4²⁰ + 3 · 4⁵ + 2 · 4⁴ + 1 записали в системе счисления с основанием 16. Сколько значащих нулей…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение выражения 49⁷ + 7²¹ − 7 записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр 6 содержится в этой записи?
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 26. 13 ух 5₂₆ + 24 у 13₂₆ В записи чисел переменными х и у обозначены две…
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 21. 12 yx 9₂₁ + 36 y 99₂₁ В записи чисел переменными x и y обозначены две…
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 17. 135 x 9₁₇ + 9 x 531₁₇ В записи чисел переменной х обозначена неизвест…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 243⁵⁴⁰ - 6 · 9⁵³⁰ + 21 · 3⁵¹¹ - 3 · 3⁷⁰ - 200 записали в системе счисления с основанием 9. Определите количество ци…
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15. 135 x 7₁₅ + 7 x 531₁₅ В записи чисел переменной х обозначена неизвест…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 4²⁰²² - 2 · 4¹¹¹¹ + 16⁶⁰⁰ + 192 записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр «3» содержится в этой зап…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 2 · 3²⁰²² + 5 · 3¹⁸⁰⁰ + 3¹⁰⁰¹ + 4 · 3¹⁰⁰⁰ + 3 записали в системе счисления с основанием 9. Сколько значащих нулей с…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 3²⁰²¹ + 5 · 3²⁰⁰⁰ + 3⁵⁰¹ + 5 · 3⁵⁰⁰ + 1 записали в системе счисления с основанием 9. Сколько значащих нулей содержи…
Системы счисления

Задание №14 — Анализ выражений

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15.
$123 x 5_{15} + 1 x 233_{15}$
В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 15-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 14. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 14 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.

Правильный ответ

8767

Пояснение

Решение:

Распишем операнды по степеням основания 15:

$123x5_{15} = 1 \cdot 15^4 + 2 \cdot 15^3 + 3 \cdot 15^2 + x \cdot 15 + 5$ ,

$1x233_{15} = 1 \cdot 15^4 + x \cdot 15^3 + 2 \cdot 15^2 + 3 \cdot 15 + 3$ .

Сумма: $S = 2 \cdot 15^4 + (x + 2) \cdot 15^3 + 5 \cdot 15^2 + (x + 3) \cdot 15 + 8$ .

Заметим, что $15 \equiv 1 \pmod{14}$ , поэтому и все степени пятнадцати дают остаток 1. Тогда сумма сравнима с суммой своих коэффициентов:

$S \equiv 2 + (x + 2) + 5 + (x + 3) + 8 = 2x + 20 \pmod{14}$ .

Условие $2x + 20 \equiv 0 \pmod{14}$ равносильно $x + 10 \equiv 0 \pmod 7$ , то есть $x \equiv 4 \pmod 7$ . В алфавите 15-ричной системы (цифры $0 \ldots 14$ ) подходят $x = 4$ и $x = 11$ ; наименьшее — $x = 4$ .

При $x = 4$ : $S = 2 \cdot 50625 + 6 \cdot 3375 + 5 \cdot 225 + 7 \cdot 15 + 8 = 122738$ , и $122738 : 14 = 8767$ .

for x in range(15):
    a = 15**4 + 2*15**3 + 3*15**2 + x*15 + 5
    b = 15**4 + x*15**3 + 2*15**2 + 3*15 + 3
    if (a + b) % 14 == 0:
        print(x, (a + b) // 14)

Ответ: 8767