Задание №14 — Анализ выражений

Решение:

Основание системы счисления 15, а делитель $14 = 15-1$. Так как $15 \equiv 1 \pmod{14}$, любое число сравнимо по модулю 14 с суммой своих 15-ричных цифр. Поэтому сумма делится на 14 тогда и только тогда, когда на 14 делится сумма цифр обоих слагаемых.

• $135x7_{15}$: $1+3+5+x+7 = 16 + x$;
• $7x531_{15}$: $7+x+5+3+1 = 16 + x$.

Всего $32 + 2x \equiv 0 \pmod{14}$, то есть $2x \equiv 10 \pmod{14}$, или $x \equiv 5 \pmod 7$. В алфавите 15-ричной системы подходят $x = 5$ и $x = 12$; наименьшее — $x = 5$.

Подставим $x = 5$: $13557_{15} = 61957$, $75531_{15} = 372421$, сумма равна $434378$, а $434378 : 14 = 31027$.

b = 15

def num(ds):
    n = 0
    for d in ds:
        n = n * b + d
    return n

for x in range(b):                       # ищем наименьшее x
    s = num([1, 3, 5, x, 7]) + num([7, x, 5, 3, 1])
    if s % 14 == 0:
        print(x, s // 14)                # 5 31027
        break

Ответ: 31027