Задание №14 — Анализ выражений

Решение:

Приведём все слагаемые к степеням девятки: $9 = 3^2$, $243 = 3^5$.

• $243^{540} = 3^{2700} = 9^{1350}$;
• $21 \cdot 3^{511} = 63 \cdot 3^{510} = 7 \cdot 9 \cdot 9^{255} = 7 \cdot 9^{256}$;
• $3 \cdot 3^{70} = 3 \cdot 9^{35}$;
• $200 = 2 \cdot 9^2 + 4 \cdot 9 + 2 = 242_9$.

Значит, $N = 9^{1350} - 6 \cdot 9^{530} + 7 \cdot 9^{256} - 3 \cdot 9^{35} - 242_9$.

Шаг 1. $9^{1350} - 6 \cdot 9^{530} = 9^{530}\left(9^{820} - 6\right)$. Число $9^{820} - 6$ в девятичной записи — это 819 восьмёрок и тройка. Поэтому в разрядах с 1349-го по 531-й стоят 819 восьмёрок, в разряде 530 — цифра 3, а младшие разряды пока нулевые.

Шаг 2. $7 \cdot 9^{256} - 3 \cdot 9^{35} = 9^{35}\left(7 \cdot 9^{221} - 3\right)$. Число $7 \cdot 9^{221} - 3$ — это цифра 6, затем 220 восьмёрок, затем 6. Появляются ещё 220 восьмёрок (разряды 255…36), а в разряде 35 оказывается цифра 6.

Шаг 3. Вычитаем $242_9$. Три младших разряда нулевые, поэтому происходит заём: цифра 6 в разряде 35 уменьшается до 5, разряды с 34-го по 3-й (их ровно 32) превращаются в восьмёрки, а $9^3 - 242_9 = 647_9$ даёт младшие цифры 6, 4, 7. Это ещё 32 восьмёрки.

Итого восьмёрок: $819 + 220 + 32 = 1071$.

Проверка программой:

n = 243**540 - 6*9**530 + 21*3**511 - 3*3**70 - 200
s = ''
while n:
    s = str(n % 9) + s
    n //= 9
print(s.count('8'))

Ответ: 1071