Задание 14

Знание позиционных систем счисления · 28 заданий

Задание №14
№14
Определите количество цифр с числовым значением, превышающим 9, в 27-ричной записи числа, заданного выражением: 2 · 729²⁰¹⁴ + 2 · 243²⁰¹⁶ – 2 · 81²⁰¹⁸…
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15. 123 x 5₁₅ + 1 x 233₁₅ В записи чисел переменной x обозначена неизвест…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 3 · 4³⁸ + 2 · 4²³ + 4²⁰ + 3 · 4⁵ + 2 · 4⁴ + 1 записали в системе счисления с основанием 16. Сколько значащих нулей…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение выражения 49⁷ + 7²¹ − 7 записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр 6 содержится в этой записи?
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 26. 13 ух 5₂₆ + 24 у 13₂₆ В записи чисел переменными х и у обозначены две…
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 21. 12 yx 9₂₁ + 36 y 99₂₁ В записи чисел переменными x и y обозначены две…
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 17. 135 x 9₁₇ + 9 x 531₁₇ В записи чисел переменной х обозначена неизвест…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 243⁵⁴⁰ - 6 · 9⁵³⁰ + 21 · 3⁵¹¹ - 3 · 3⁷⁰ - 200 записали в системе счисления с основанием 9. Определите количество ци…
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15. 135 x 7₁₅ + 7 x 531₁₅ В записи чисел переменной х обозначена неизвест…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 4²⁰²² - 2 · 4¹¹¹¹ + 16⁶⁰⁰ + 192 записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр «3» содержится в этой зап…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 2 · 3²⁰²² + 5 · 3¹⁸⁰⁰ + 3¹⁰⁰¹ + 4 · 3¹⁰⁰⁰ + 3 записали в системе счисления с основанием 9. Сколько значащих нулей с…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 3²⁰²¹ + 5 · 3²⁰⁰⁰ + 3⁵⁰¹ + 5 · 3⁵⁰⁰ + 1 записали в системе счисления с основанием 9. Сколько значащих нулей содержи…
Системы счисления

Задание №14 — Анализ выражений

Значение арифметического выражения
$243^{540} - 6 \cdot 9^{530} + 21 \cdot 3^{511} - 3 \cdot 3^{70} - 200$
записали в системе счисления с основанием 9. Определите количество цифр 8 в записи этого числа.

Правильный ответ

1071

Пояснение

Решение:

Приведём все слагаемые к степеням девятки: $9 = 3^2$ , $243 = 3^5$ .

$243^{540} = 3^{2700} = 9^{1350}$ ;
$21 \cdot 3^{511} = 63 \cdot 3^{510} = 7 \cdot 9 \cdot 9^{255} = 7 \cdot 9^{256}$ ;
$3 \cdot 3^{70} = 3 \cdot 9^{35}$ ;
$200 = 2 \cdot 9^2 + 4 \cdot 9 + 2 = 242_9$ .

Значит, $N = 9^{1350} - 6 \cdot 9^{530} + 7 \cdot 9^{256} - 3 \cdot 9^{35} - 242_9$ .

Шаг 1. $9^{1350} - 6 \cdot 9^{530} = 9^{530}\left(9^{820} - 6\right)$ . Число $9^{820} - 6$ в девятичной записи — это 819 восьмёрок и тройка. Поэтому в разрядах с 1349-го по 531-й стоят 819 восьмёрок, в разряде 530 — цифра 3, а младшие разряды пока нулевые.

Шаг 2. $7 \cdot 9^{256} - 3 \cdot 9^{35} = 9^{35}\left(7 \cdot 9^{221} - 3\right)$ . Число $7 \cdot 9^{221} - 3$ — это цифра 6, затем 220 восьмёрок, затем 6. Появляются ещё 220 восьмёрок (разряды 255…36), а в разряде 35 оказывается цифра 6.

Шаг 3. Вычитаем $242_9$ . Три младших разряда нулевые, поэтому происходит заём: цифра 6 в разряде 35 уменьшается до 5, разряды с 34-го по 3-й (их ровно 32) превращаются в восьмёрки, а $9^3 - 242_9 = 647_9$ даёт младшие цифры 6, 4, 7. Это ещё 32 восьмёрки.

Итого восьмёрок: $819 + 220 + 32 = 1071$ .

Проверка программой:

n = 243**540 - 6*9**530 + 21*3**511 - 3*3**70 - 200
s = ''
while n:
    s = str(n % 9) + s
    n //= 9
print(s.count('8'))

Ответ: 1071