Задание №14 — Анализ выражений

Решение:

Распишем операнды по степеням основания 21:

$12yx9_{21} = 1 \cdot 21^4 + 2 \cdot 21^3 + y \cdot 21^2 + x \cdot 21 + 9$,

$36y99_{21} = 3 \cdot 21^4 + 6 \cdot 21^3 + y \cdot 21^2 + 9 \cdot 21 + 9$.

Сумма: $S = 4 \cdot 21^4 + 8 \cdot 21^3 + 2y \cdot 21^2 + (x + 9) \cdot 21 + 18$.

Найдём остатки степеней по модулю 18: $21 \equiv 3$, $21^2 = 441 \equiv 9$, $21^3 \equiv 3 \cdot 9 = 27 \equiv 9$, $21^4 \equiv 9 \cdot 9 = 81 \equiv 9 \pmod{18}$. Тогда

$S \equiv 4 \cdot 9 + 8 \cdot 9 + 2y \cdot 9 + 3(x + 9) + 18 \equiv 36 + 72 + 18y + 3x + 27 + 18 \equiv 3x + 9 \pmod{18}$,

потому что $36$, $72$, $18y$ и $18$ кратны 18. Слагаемое с $y$ исчезло — значит остаток и вправду не зависит от $y$, как и требуется в условии.

Условие $3x + 9 \equiv 0 \pmod{18}$ равносильно $x + 3 \equiv 0 \pmod 6$, то есть $x \equiv 3 \pmod 6$. В алфавите 21-ричной системы (цифры $0 \ldots 20$) это $x \in \{3,\ 9,\ 15\}$; наименьшее — $x = 3$.

При $x = 3$ и $y = 5$: $S = 4 \cdot 194481 + 8 \cdot 9261 + 10 \cdot 441 + 12 \cdot 21 + 18 = 856692$, и $856692 : 18 = 47594$.

def num(digits, base):
    v = 0
    for d in digits:
        v = v * base + d
    return v

good = [x for x in range(21)
        if all((num([1,2,y,x,9], 21) + num([3,6,y,9,9], 21)) % 18 == 0
               for y in range(21))]
x = min(good)
print(good, x, (num([1,2,5,x,9], 21) + num([3,6,5,9,9], 21)) // 18)

Ответ: 47594