Задание 14

Знание позиционных систем счисления · 28 заданий

Задание №14
№14
Определите количество цифр с числовым значением, превышающим 9, в 27-ричной записи числа, заданного выражением: 2 · 729²⁰¹⁴ + 2 · 243²⁰¹⁶ – 2 · 81²⁰¹⁸…
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15. 123 x 5₁₅ + 1 x 233₁₅ В записи чисел переменной x обозначена неизвест…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 3 · 4³⁸ + 2 · 4²³ + 4²⁰ + 3 · 4⁵ + 2 · 4⁴ + 1 записали в системе счисления с основанием 16. Сколько значащих нулей…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение выражения 49⁷ + 7²¹ − 7 записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр 6 содержится в этой записи?
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 26. 13 ух 5₂₆ + 24 у 13₂₆ В записи чисел переменными х и у обозначены две…
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 21. 12 yx 9₂₁ + 36 y 99₂₁ В записи чисел переменными x и y обозначены две…
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 17. 135 x 9₁₇ + 9 x 531₁₇ В записи чисел переменной х обозначена неизвест…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 243⁵⁴⁰ - 6 · 9⁵³⁰ + 21 · 3⁵¹¹ - 3 · 3⁷⁰ - 200 записали в системе счисления с основанием 9. Определите количество ци…
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15. 135 x 7₁₅ + 7 x 531₁₅ В записи чисел переменной х обозначена неизвест…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 4²⁰²² - 2 · 4¹¹¹¹ + 16⁶⁰⁰ + 192 записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр «3» содержится в этой зап…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 2 · 3²⁰²² + 5 · 3¹⁸⁰⁰ + 3¹⁰⁰¹ + 4 · 3¹⁰⁰⁰ + 3 записали в системе счисления с основанием 9. Сколько значащих нулей с…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 3²⁰²¹ + 5 · 3²⁰⁰⁰ + 3⁵⁰¹ + 5 · 3⁵⁰⁰ + 1 записали в системе счисления с основанием 9. Сколько значащих нулей содержи…
Системы счисления

Задание №14 — Анализ выражений

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 21.
$12 yx 9_{21} + 36 y 99_{21}$
В записи чисел переменными x и y обозначены две неизвестные цифры из алфавита 21-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение х, при котором значение данного арифметического выражения кратно 18₁₀ при любом значении у. Для найденного значения х вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 18₁₀ при у = 5 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.

Правильный ответ

47594

Пояснение

Решение:

Распишем операнды по степеням основания 21:

$12yx9_{21} = 1 \cdot 21^4 + 2 \cdot 21^3 + y \cdot 21^2 + x \cdot 21 + 9$ ,

$36y99_{21} = 3 \cdot 21^4 + 6 \cdot 21^3 + y \cdot 21^2 + 9 \cdot 21 + 9$ .

Сумма: $S = 4 \cdot 21^4 + 8 \cdot 21^3 + 2y \cdot 21^2 + (x + 9) \cdot 21 + 18$ .

Найдём остатки степеней по модулю 18: $21 \equiv 3$ , $21^2 = 441 \equiv 9$ , $21^3 \equiv 3 \cdot 9 = 27 \equiv 9$ , $21^4 \equiv 9 \cdot 9 = 81 \equiv 9 \pmod{18}$ . Тогда

$S \equiv 4 \cdot 9 + 8 \cdot 9 + 2y \cdot 9 + 3(x + 9) + 18 \equiv 36 + 72 + 18y + 3x + 27 + 18 \equiv 3x + 9 \pmod{18}$ ,

потому что $36$ , $72$ , $18y$ и $18$ кратны 18. Слагаемое с $y$ исчезло — значит остаток и вправду не зависит от $y$ , как и требуется в условии.

Условие $3x + 9 \equiv 0 \pmod{18}$ равносильно $x + 3 \equiv 0 \pmod 6$ , то есть $x \equiv 3 \pmod 6$ . В алфавите 21-ричной системы (цифры $0 \ldots 20$ ) это $x \in \{3,\ 9,\ 15\}$ ; наименьшее — $x = 3$ .

При $x = 3$ и $y = 5$ : $S = 4 \cdot 194481 + 8 \cdot 9261 + 10 \cdot 441 + 12 \cdot 21 + 18 = 856692$ , и $856692 : 18 = 47594$ .

def num(digits, base):
    v = 0
    for d in digits:
        v = v * base + d
    return v

good = [x for x in range(21)
        if all((num([1,2,y,x,9], 21) + num([3,6,y,9,9], 21)) % 18 == 0
               for y in range(21))]
x = min(good)
print(good, x, (num([1,2,5,x,9], 21) + num([3,6,5,9,9], 21)) // 18)

Ответ: 47594