Задание №14 — Анализ выражений

Решение:

Основание системы счисления 9, а $9 = 3^{2}$, поэтому удобно выразить всё через степени девятки:

• $3^{2021} = 3\cdot 3^{2020} = 3\cdot 9^{1010}$;
• $5\cdot 3^{2000} = 5\cdot 9^{1000}$;
• $3^{501} + 5\cdot 3^{500} = 3\cdot 3^{500} + 5\cdot 3^{500} = 8\cdot 3^{500} = 8\cdot 9^{250}$;
• $1 = 1\cdot 9^{0}$.

Получаем $N = 3\cdot 9^{1010} + 5\cdot 9^{1000} + 8\cdot 9^{250} + 1$. Все коэффициенты (3, 5, 8, 1) — допустимые девятеричные цифры и стоят в разных разрядах, значит переносов нет, и это и есть готовая запись числа в девятеричной системе.

Старший разряд — 1010-й, поэтому всего в записи $1011$ цифр, из которых ненулевых ровно четыре. Значащих нулей: $1011 - 4 = 1007$.

def to_base(n, b):
    s = ''
    while n:
        s = str(n % b) + s
        n //= b
    return s

n = 3**2021 + 5 * 3**2000 + 3**501 + 5 * 3**500 + 1
print(to_base(n, 9).count('0'))     # 1007

Ответ: 1007