Задание №14 — Анализ выражений

Решение:

Распишем операнды по степеням основания:

$135x9_{17} = 1 \cdot 17^4 + 3 \cdot 17^3 + 5 \cdot 17^2 + x \cdot 17 + 9$,

$9x531_{17} = 9 \cdot 17^4 + x \cdot 17^3 + 5 \cdot 17^2 + 3 \cdot 17 + 1$.

Сумма: $S = 10 \cdot 17^4 + (x + 3) \cdot 17^3 + 10 \cdot 17^2 + (x + 3) \cdot 17 + 10$.

Так как $17 \equiv -1 \pmod 9$, то $17^2 \equiv 1$, $17^3 \equiv -1$, $17^4 \equiv 1 \pmod 9$, поэтому

$S \equiv 10 - (x + 3) + 10 - (x + 3) + 10 = 24 - 2x \pmod 9$.

Условие кратности девяти: $24 - 2x \equiv 0 \pmod 9$, то есть $2x \equiv 6 \pmod 9$, откуда $x \equiv 3 \pmod 9$.

В алфавите 17-ричной системы цифры — это $0 \ldots 16$, значит подходят $x = 3$ и $x = 12$. Наибольшее значение — $x = 12$.

При $x = 12$: $S = 10 \cdot 83521 + 15 \cdot 4913 + 10 \cdot 289 + 15 \cdot 17 + 10 = 912060$, и $912060 : 9 = 101340$.

for x in range(17):
    a = 17**4 + 3*17**3 + 5*17**2 + x*17 + 9
    b = 9*17**4 + x*17**3 + 5*17**2 + 3*17 + 1
    if (a + b) % 9 == 0:
        print(x, (a + b) // 9)

Ответ: 101340