Задание 14

Знание позиционных систем счисления · 28 заданий

Задание №14
№14
Определите количество цифр с числовым значением, превышающим 9, в 27-ричной записи числа, заданного выражением: 2 · 729²⁰¹⁴ + 2 · 243²⁰¹⁶ – 2 · 81²⁰¹⁸…
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15. 123 x 5₁₅ + 1 x 233₁₅ В записи чисел переменной x обозначена неизвест…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 3 · 4³⁸ + 2 · 4²³ + 4²⁰ + 3 · 4⁵ + 2 · 4⁴ + 1 записали в системе счисления с основанием 16. Сколько значащих нулей…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение выражения 49⁷ + 7²¹ − 7 записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр 6 содержится в этой записи?
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 26. 13 ух 5₂₆ + 24 у 13₂₆ В записи чисел переменными х и у обозначены две…
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 21. 12 yx 9₂₁ + 36 y 99₂₁ В записи чисел переменными x и y обозначены две…
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 17. 135 x 9₁₇ + 9 x 531₁₇ В записи чисел переменной х обозначена неизвест…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 243⁵⁴⁰ - 6 · 9⁵³⁰ + 21 · 3⁵¹¹ - 3 · 3⁷⁰ - 200 записали в системе счисления с основанием 9. Определите количество ци…
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15. 135 x 7₁₅ + 7 x 531₁₅ В записи чисел переменной х обозначена неизвест…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 4²⁰²² - 2 · 4¹¹¹¹ + 16⁶⁰⁰ + 192 записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр «3» содержится в этой зап…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 2 · 3²⁰²² + 5 · 3¹⁸⁰⁰ + 3¹⁰⁰¹ + 4 · 3¹⁰⁰⁰ + 3 записали в системе счисления с основанием 9. Сколько значащих нулей с…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 3²⁰²¹ + 5 · 3²⁰⁰⁰ + 3⁵⁰¹ + 5 · 3⁵⁰⁰ + 1 записали в системе счисления с основанием 9. Сколько значащих нулей содержи…
Системы счисления

Задание №14 — Анализ выражений

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 17.
$135 x 9_{17} + 9 x 531_{17}$
В записи чисел переменной х обозначена неизвестная цифра из алфавита 17-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение х, при котором значение данного арифметического выражения кратно 9. Для найденного значения х вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 9 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.

Правильный ответ

101340

Пояснение

Решение:

Распишем операнды по степеням основания:

$135x9_{17} = 1 \cdot 17^4 + 3 \cdot 17^3 + 5 \cdot 17^2 + x \cdot 17 + 9$ ,

$9x531_{17} = 9 \cdot 17^4 + x \cdot 17^3 + 5 \cdot 17^2 + 3 \cdot 17 + 1$ .

Сумма: $S = 10 \cdot 17^4 + (x + 3) \cdot 17^3 + 10 \cdot 17^2 + (x + 3) \cdot 17 + 10$ .

Так как $17 \equiv -1 \pmod 9$ , то $17^2 \equiv 1$ , $17^3 \equiv -1$ , $17^4 \equiv 1 \pmod 9$ , поэтому

$S \equiv 10 - (x + 3) + 10 - (x + 3) + 10 = 24 - 2x \pmod 9$ .

Условие кратности девяти: $24 - 2x \equiv 0 \pmod 9$ , то есть $2x \equiv 6 \pmod 9$ , откуда $x \equiv 3 \pmod 9$ .

В алфавите 17-ричной системы цифры — это $0 \ldots 16$ , значит подходят $x = 3$ и $x = 12$ . Наибольшее значение — $x = 12$ .

При $x = 12$ : $S = 10 \cdot 83521 + 15 \cdot 4913 + 10 \cdot 289 + 15 \cdot 17 + 10 = 912060$ , и $912060 : 9 = 101340$ .

for x in range(17):
    a = 17**4 + 3*17**3 + 5*17**2 + x*17 + 9
    b = 9*17**4 + x*17**3 + 5*17**2 + 3*17 + 1
    if (a + b) % 9 == 0:
        print(x, (a + b) // 9)

Ответ: 101340