Задание №14 — Анализ выражений

Решение:

В 27-ричной системе цифры принимают значения $0 \ldots 26$; нас интересуют цифры со значением от 10 до 26.

Все основания — степени тройки, а $27 = 3^3$. Переведём слагаемые:

• $2 \cdot 729^{2014} = 2 \cdot 3^{12084} = 2 \cdot 27^{4028}$;
• $2 \cdot 243^{2016} = 2 \cdot 3^{10080} = 2 \cdot 27^{3360}$;
• $2 \cdot 81^{2018} = 2 \cdot 3^{8072} = 2 \cdot 3^2 \cdot 3^{8070} = 18 \cdot 27^{2690}$;
• $2 \cdot 27^{2020}$ — уже готово;
• $2 \cdot 9^{2022} = 2 \cdot 3^{4044} = 2 \cdot 27^{1348}$;
• $2024 = 2 \cdot 27^2 + 20 \cdot 27 + 26$.

Итак, $N = 2 \cdot 27^{4028} + \left(2 \cdot 27^{3360} - 18 \cdot 27^{2690}\right) + \left(2 \cdot 27^{2020} - 2 \cdot 27^{1348} - 2024\right)$. Скобки не пересекаются по разрядам, поэтому их можно обрабатывать по отдельности.

Первая скобка. $2 \cdot 27^{3360} - 18 \cdot 27^{2690} = 27^{2690}\left(2 \cdot 27^{670} - 18\right)$. Число $2 \cdot 27^{670} - 18$ — это цифра 1, затем 669 цифр 26, затем цифра $27 - 18 = 9$.

Вторая скобка. $2 \cdot 27^{2020} - 2 \cdot 27^{1348} = 27^{1348}\left(2 \cdot 27^{672} - 2\right)$ — это цифра 1, затем 671 цифра 26 и цифра 25 в разряде 1348. Теперь вычитаем $2024 = (2,\ 20,\ 26)_{27}$: младшие разряды нулевые, поэтому заём уменьшает 25 до 24, разряды с 1347-го по 3-й (их 1345) становятся цифрами 26, а $27^3 - 2024 = 17659 = 24 \cdot 27^2 + 6 \cdot 27 + 1$ даёт младшие цифры 24, 6, 1.

Остальные цифры записи — старшая двойка, единицы и нули, они не превышают 9. Считаем «большие» цифры:

$669 + 671 + 1345 = 2685$ цифр 26, плюс две цифры 24, итого $2685 + 2 = 2687$.

n = 2*729**2014 + 2*243**2016 - 2*81**2018 + 2*27**2020 - 2*9**2022 - 2024
count = 0
while n:
    if n % 27 > 9:
        count += 1
    n //= 27
print(count)

Ответ: 2687