Задание №14 — Анализ выражений

Решение:

Распишем операнды по степеням основания 26:

$13yx5_{26} = 1 \cdot 26^4 + 3 \cdot 26^3 + y \cdot 26^2 + x \cdot 26 + 5$,

$24y13_{26} = 2 \cdot 26^4 + 4 \cdot 26^3 + y \cdot 26^2 + 1 \cdot 26 + 3$.

Сумма: $S = 3 \cdot 26^4 + 7 \cdot 26^3 + 2y \cdot 26^2 + (x + 1) \cdot 26 + 8$.

По модулю 8: $26 \equiv 2$, $26^2 = 676 \equiv 4$, $26^3 \equiv 2 \cdot 4 = 8 \equiv 0$, $26^4 \equiv 0 \pmod 8$. Тогда

$S \equiv 2y \cdot 4 + (x + 1) \cdot 2 + 8 \equiv 8y + 2(x + 1) \equiv 2(x + 1) \pmod 8$.

Слагаемое с $y$ кратно 8, поэтому остаток от $y$ не зависит — условие «при любом значении $y$» выполнено автоматически.

Условие $2(x + 1) \equiv 0 \pmod 8$ равносильно $x + 1 \equiv 0 \pmod 4$, то есть $x \equiv 3 \pmod 4$. В алфавите 26-ричной системы (цифры $0 \ldots 25$) подходят $x \in \{3,\ 7,\ 11,\ 15,\ 19,\ 23\}$; наибольшее — $x = 23$.

При $x = 23$ и $y = 2$: $S = 3 \cdot 456976 + 7 \cdot 17576 + 4 \cdot 676 + 24 \cdot 26 + 8 = 1497296$, и $1497296 : 8 = 187162$.

def num(digits, base):
    v = 0
    for d in digits:
        v = v * base + d
    return v

good = [x for x in range(26)
        if all((num([1,3,y,x,5], 26) + num([2,4,y,1,3], 26)) % 8 == 0
               for y in range(26))]
x = max(good)
print(good, x, (num([1,3,2,x,5], 26) + num([2,4,2,1,3], 26)) // 8)

Ответ: 187162