Задание 14

Знание позиционных систем счисления · 28 заданий

Задание №14
№14
Определите количество цифр с числовым значением, превышающим 9, в 27-ричной записи числа, заданного выражением: 2 · 729²⁰¹⁴ + 2 · 243²⁰¹⁶ – 2 · 81²⁰¹⁸…
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15. 123 x 5₁₅ + 1 x 233₁₅ В записи чисел переменной x обозначена неизвест…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 3 · 4³⁸ + 2 · 4²³ + 4²⁰ + 3 · 4⁵ + 2 · 4⁴ + 1 записали в системе счисления с основанием 16. Сколько значащих нулей…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение выражения 49⁷ + 7²¹ − 7 записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр 6 содержится в этой записи?
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 26. 13 ух 5₂₆ + 24 у 13₂₆ В записи чисел переменными х и у обозначены две…
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 21. 12 yx 9₂₁ + 36 y 99₂₁ В записи чисел переменными x и y обозначены две…
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 17. 135 x 9₁₇ + 9 x 531₁₇ В записи чисел переменной х обозначена неизвест…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 243⁵⁴⁰ - 6 · 9⁵³⁰ + 21 · 3⁵¹¹ - 3 · 3⁷⁰ - 200 записали в системе счисления с основанием 9. Определите количество ци…
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15. 135 x 7₁₅ + 7 x 531₁₅ В записи чисел переменной х обозначена неизвест…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 4²⁰²² - 2 · 4¹¹¹¹ + 16⁶⁰⁰ + 192 записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр «3» содержится в этой зап…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 2 · 3²⁰²² + 5 · 3¹⁸⁰⁰ + 3¹⁰⁰¹ + 4 · 3¹⁰⁰⁰ + 3 записали в системе счисления с основанием 9. Сколько значащих нулей с…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 3²⁰²¹ + 5 · 3²⁰⁰⁰ + 3⁵⁰¹ + 5 · 3⁵⁰⁰ + 1 записали в системе счисления с основанием 9. Сколько значащих нулей содержи…
Системы счисления

Задание №14 — Анализ выражений

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 26.
$13 ух 5_{26} + 24 у 13_{26}$
В записи чисел переменными х и у обозначены две неизвестные цифры из алфавита 26-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение х, при котором значение данного арифметического выражения кратно 8 при любом значении у. Для найденного значения х вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 8 при у = 2 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.

Правильный ответ

187162

Пояснение

Решение:

Распишем операнды по степеням основания 26:

$13yx5_{26} = 1 \cdot 26^4 + 3 \cdot 26^3 + y \cdot 26^2 + x \cdot 26 + 5$ ,

$24y13_{26} = 2 \cdot 26^4 + 4 \cdot 26^3 + y \cdot 26^2 + 1 \cdot 26 + 3$ .

Сумма: $S = 3 \cdot 26^4 + 7 \cdot 26^3 + 2y \cdot 26^2 + (x + 1) \cdot 26 + 8$ .

По модулю 8: $26 \equiv 2$ , $26^2 = 676 \equiv 4$ , $26^3 \equiv 2 \cdot 4 = 8 \equiv 0$ , $26^4 \equiv 0 \pmod 8$ . Тогда

$S \equiv 2y \cdot 4 + (x + 1) \cdot 2 + 8 \equiv 8y + 2(x + 1) \equiv 2(x + 1) \pmod 8$ .

Слагаемое с $y$ кратно 8, поэтому остаток от $y$ не зависит — условие «при любом значении $y$ » выполнено автоматически.

Условие $2(x + 1) \equiv 0 \pmod 8$ равносильно $x + 1 \equiv 0 \pmod 4$ , то есть $x \equiv 3 \pmod 4$ . В алфавите 26-ричной системы (цифры $0 \ldots 25$ ) подходят $x \in \{3,\ 7,\ 11,\ 15,\ 19,\ 23\}$ ; наибольшее — $x = 23$ .

При $x = 23$ и $y = 2$ : $S = 3 \cdot 456976 + 7 \cdot 17576 + 4 \cdot 676 + 24 \cdot 26 + 8 = 1497296$ , и $1497296 : 8 = 187162$ .

def num(digits, base):
    v = 0
    for d in digits:
        v = v * base + d
    return v

good = [x for x in range(26)
        if all((num([1,3,y,x,5], 26) + num([2,4,y,1,3], 26)) % 8 == 0
               for y in range(26))]
x = max(good)
print(good, x, (num([1,3,2,x,5], 26) + num([2,4,2,1,3], 26)) // 8)

Ответ: 187162