Задание №14 — Анализ выражений

Решение:

Приведём всё к степеням пятёрки: $25^{600} = 5^{1200}$, $125 = 5^{3}$. Тогда

$$N = 5^{2019} + 5^{1200} - 5^{1019} - 5^{3}.$$

Сначала $5^{1200} - 5^{1019} = 5^{1019}\left(5^{181}-1\right)$: разряды с 1199-го по 1020-й становятся четвёрками (180 цифр), а в разряде 1019 получается $5-1 = 4$.

Затем вычитаем $5^{3}$: заём берётся у этой четвёрки, она становится тройкой, разряды с 1018-го по 4-й превращаются в четвёрки, а в разряде 3 получается $5-1=4$. Значит, четвёрки занимают разряды с 1018-го по 3-й — это 1016 цифр, а разряды 2, 1, 0 нулевые.

Итого запись: 1, 819 нулей, 180 четвёрок, 3, 1016 четвёрок, 3 нуля. Четвёрок: $180 + 1016 = 1196$.

def to_base(n, b):
    s = ''
    while n:
        s = str(n % b) + s
        n //= b
    return s

n = 5**2019 - 5**1019 + 25**600 - 125
print(to_base(n, 5).count('4'))     # 1196

Ответ: 1196