Задание 15

Знание основных понятий и законов математической логики · 27 заданий

Задание №15
№15
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А ло…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15
На числовой прямой даны два отрезка: D = [17; 58] и C = [29; 80]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого логическое выражен…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x < A) (y < A) (x · y > 1200) тождественио ложно, т. е. принимает значение 0 при люб…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x < A) (y < A) (x · y > 601) тождественио ложно, т. е. принимает значение 0 при любы…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x ⩾ А) (у ⩾ А) (x · y ⩽ 270) тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при лю…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Обозначим через ТРЕУГ(n, m, k) утверждение «существует невырожденный треугольник с длинами сторон n, m и k». Для какого наибольшего натурального числа…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x ⩾ A) (y ⩾ A) (x · y ⩽ 200) тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при лю…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15
На числовой прямой даны два отрезка: В = [4; 18] и С = [12; 40]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, для которого логическое выражени…
Алгебра логики
Задание №15
№15
На числовой прямой даны два отрезка: В = [14; 20] и С = [15; 27]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, для которого логическое выражен…
Алгебра логики

Задание №15 — Сложное логическое выражение

На числовой прямой даны два отрезка: D = [17; 58] и C = [29; 80]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого логическое выражение
$( x \in D ) \rightarrow ( ( \neg ( x \in C ) \land \neg ( x \in A ) ) \rightarrow \neg ( x \in D ) )$
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Правильный ответ

Пояснение

Решение:

Обозначим $d = (x \in D)$ , $c = (x \in C)$ , $a = (x \in A)$ . Выражение имеет вид $d \rightarrow ((\neg c \land \neg a) \rightarrow \neg d)$ .

Если $d = 0$ , внешняя импликация истинна автоматически. Значит всё решается только на точках отрезка $D$ .

Пусть $d = 1$ . Тогда $\neg d = 0$ , и внутренняя импликация $(\neg c \land \neg a) \rightarrow 0$ истинна лишь при ложной посылке: $\neg c \land \neg a = 0$ , то есть $c \lor a = 1$ .

Итог: каждая точка отрезка $D$ должна лежать в $C$ или в $A$ .

Для $D = [17; 58]$ и $C = [29; 80]$ отрезок $C$ накрывает часть $D$ от 29 до 58, а непокрытой остаётся часть $17 \le x \lt 29$ . Именно её и должен взять на себя отрезок $A$ .

Отрезок, содержащий точку 17 и точки, сколь угодно близкие к 29, обязан содержать весь промежуток $[17; 29]$ . Наименьшая длина равна $29 - 17 = 12$ .

def ok(a, b, step=0.5):
    for i in range(0, 250):
        x = i * step
        D = 17 <= x <= 58
        C = 29 <= x <= 80
        A = a <= x <= b
        if D and not (C or A):
            return False
    return True

print(ok(17, 29))     # True
print(ok(17.5, 29))   # False

Ответ: 12