Задание №15 — Сложное логическое выражение

Решение:

Дизъюнкция ложна только тогда, когда ложны все три слагаемых. Значит выражение $(x \ge A) \lor (y \ge A) \lor (x \cdot y \le 270)$ не является тождественно истинным ровно тогда, когда найдутся целые положительные $x, y$, для которых

$x \lt A$, $y \lt A$ и $x \cdot y \gt 270$.

Нужно взять наибольшее $A$, при котором такой пары не существует.

Для целых $x \lt A$ и $y \lt A$ верно $x \le A - 1$ и $y \le A - 1$, поэтому наибольшее возможное произведение равно $(A - 1)^{2}$. Контрпримера нет тогда и только тогда, когда

$$(A - 1)^{2} \le 270.$$

Так как $16^{2} = 256 \le 270$, а $17^{2} = 289 \gt 270$, получаем $A - 1 \le 16$, то есть $A \le 17$. При $A = 17$ любое произведение не больше $16 \cdot 16 = 256 \le 270$ — выражение истинно; при $A = 18$ пара $x = y = 17$ даёт $289 \gt 270$ и обращает выражение в 0.

best = 0
for A in range(0, 100):
    if all(x >= A or y >= A or x * y <= 270
           for x in range(1, A + 1) for y in range(1, A + 1)):
        best = A
print(best)   # 17

Ответ: 17