Задание №15 — Сложное логическое выражение

Решение:

Дизъюнкция ложна только тогда, когда ложны все три слагаемых. Значит выражение $(x \ge A) \lor (y \ge A) \lor (x \cdot y \le 200)$ не является тождественно истинным ровно тогда, когда найдутся целые положительные $x, y$, для которых

$x \lt A$, $y \lt A$ и $x \cdot y \gt 200$.

Нужно взять наибольшее $A$, при котором такой пары не существует.

Для целых $x \lt A$ и $y \lt A$ верно $x \le A - 1$ и $y \le A - 1$, поэтому наибольшее возможное произведение равно $(A - 1)^{2}$. Контрпримера нет тогда и только тогда, когда даже это максимальное произведение не превосходит 200:

$$(A - 1)^{2} \le 200.$$

Так как $14^{2} = 196 \le 200$, а $15^{2} = 225 \gt 200$, получаем $A - 1 \le 14$, то есть $A \le 15$. При $A = 15$ любое произведение не больше $14 \cdot 14 = 196 \le 200$ — выражение истинно; при $A = 16$ пара $x = y = 15$ даёт $225 \gt 200$ и обращает выражение в 0.

best = 0
for A in range(0, 100):
    if all(x >= A or y >= A or x * y <= 200
           for x in range(1, A + 1) for y in range(1, A + 1)):
        best = A
print(best)   # 15

Ответ: 15