Задание 15

Знание основных понятий и законов математической логики · 27 заданий

Задание №15
№15Среднее
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А ло…
Алгебра логики
Задание №15
№15Среднее
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15Среднее
На числовой прямой даны два отрезка: D = [17; 58] и C = [29; 80]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого логическое выражен…
Алгебра логики
Задание №15
№15Лёгкое
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15Лёгкое
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x < A) (y < A) (x · y > 1200) тождественио ложно, т. е. принимает значение 0 при люб…
Алгебра логики
Задание №15
№15Лёгкое
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x < A) (y < A) (x · y > 601) тождественио ложно, т. е. принимает значение 0 при любы…
Алгебра логики
Задание №15
№15Среднее
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x ⩾ А) (у ⩾ А) (x · y ⩽ 270) тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при лю…
Алгебра логики
Задание №15
№15Сложное
Обозначим через ТРЕУГ(n, m, k) утверждение «существует невырожденный треугольник с длинами сторон n, m и k». Для какого наибольшего натурального числа…
Алгебра логики
Задание №15
№15Среднее
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x ⩾ A) (y ⩾ A) (x · y ⩽ 200) тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при лю…
Алгебра логики
Задание №15
№15Сложное
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15Лёгкое
На числовой прямой даны два отрезка: В = [4; 18] и С = [12; 40]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, для которого логическое выражени…
Алгебра логики
Задание №15
№15Среднее
На числовой прямой даны два отрезка: В = [14; 20] и С = [15; 27]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, для которого логическое выражен…
Алгебра логики

Задание №15 — Сложное логическое выражение

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение
$( x \geq A ) \lor ( y \geq A ) \lor ( x \cdot y \leq 200 )$
тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при любых целых положительных x и y?

Правильный ответ

Пояснение

Решение:

Дизъюнкция ложна только тогда, когда ложны все три слагаемых. Значит выражение $(x \ge A) \lor (y \ge A) \lor (x \cdot y \le 200)$ не является тождественно истинным ровно тогда, когда найдутся целые положительные $x, y$ , для которых

$x \lt A$ , $y \lt A$ и $x \cdot y \gt 200$ .

Нужно взять наибольшее $A$ , при котором такой пары не существует.

Для целых $x \lt A$ и $y \lt A$ верно $x \le A - 1$ и $y \le A - 1$ , поэтому наибольшее возможное произведение равно $(A - 1)^{2}$ . Контрпримера нет тогда и только тогда, когда даже это максимальное произведение не превосходит 200:

$(A - 1)^{2} \le 200.$

Так как $14^{2} = 196 \le 200$ , а $15^{2} = 225 \gt 200$ , получаем $A - 1 \le 14$ , то есть $A \le 15$ . При $A = 15$ любое произведение не больше $14 \cdot 14 = 196 \le 200$ — выражение истинно; при $A = 16$ пара $x = y = 15$ даёт $225 \gt 200$ и обращает выражение в 0.

best = 0
for A in range(0, 100):
    if all(x >= A or y >= A or x * y <= 200
           for x in range(1, A + 1) for y in range(1, A + 1)):
        best = A
print(best)   # 15

Ответ: 15