Задание №15 — Сложное логическое выражение

Решение:

Импликация $\neg(x \in A) \rightarrow ((x \in B) \equiv (x \in C))$ ложна только в одном случае: когда посылка $\neg(x \in A)$ истинна, а следствие ложно. То есть выражение обращается в 0 ровно тогда, когда $x \notin A$ и при этом принадлежности $x$ отрезкам $B$ и $C$ различаются.

Значит, чтобы выражение было истинно при любом $x$, отрезок $A$ обязан содержать все точки, в которых $(x \in B)$ и $(x \in C)$ не совпадают, — всю симметрическую разность отрезков.

Для $B = [14; 20]$ и $C = [15; 27]$:

• в $B$, но не в $C$: $14 \le x \lt 15$;
• в $C$, но не в $B$: $20 \lt x \le 27$.

Самая левая «проблемная» точка — это $x = 14$, самая правая — $x = 27$. Отрезок $A$, содержащий и 14, и 27, обязан содержать весь промежуток $[14; 27]$.

Наименьший подходящий отрезок — $A = [14; 27]$, его длина равна $27 - 14 = 13$.

# проверка на мелкой сетке
def ok(a, b, step=0.5):
    for i in range(0, 200):
        x = i * step
        A = a <= x <= b
        B = 14 <= x <= 20
        C = 15 <= x <= 27
        if not (A or (B == C)):   # (not A) -> (B == C)
            return False
    return True

print(ok(14, 27))     # True
print(ok(14.5, 27))   # False — точка 14 не покрыта

Ответ: 13