Задание 15

Знание основных понятий и законов математической логики · 27 заданий

Задание №15
№15
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А ло…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15
На числовой прямой даны два отрезка: D = [17; 58] и C = [29; 80]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого логическое выражен…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x < A) (y < A) (x · y > 1200) тождественио ложно, т. е. принимает значение 0 при люб…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x < A) (y < A) (x · y > 601) тождественио ложно, т. е. принимает значение 0 при любы…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x ⩾ А) (у ⩾ А) (x · y ⩽ 270) тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при лю…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Обозначим через ТРЕУГ(n, m, k) утверждение «существует невырожденный треугольник с длинами сторон n, m и k». Для какого наибольшего натурального числа…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x ⩾ A) (y ⩾ A) (x · y ⩽ 200) тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при лю…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15
На числовой прямой даны два отрезка: В = [4; 18] и С = [12; 40]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, для которого логическое выражени…
Алгебра логики
Задание №15
№15
На числовой прямой даны два отрезка: В = [14; 20] и С = [15; 27]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, для которого логическое выражен…
Алгебра логики

Задание №15 — Сложное логическое выражение

На числовой прямой даны два отрезка: $В = [ 14 ; 20 \left]\right.$ и $С = [ 15 ; 27 \left]\right. .$ Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, для которого логическое выражение
$\neg ( x \in А ) \rightarrow ( ( x \in В ) \equiv ( x \in С ) )$
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Правильный ответ

Пояснение

Решение:

Импликация $\neg(x \in A) \rightarrow ((x \in B) \equiv (x \in C))$ ложна только в одном случае: когда посылка $\neg(x \in A)$ истинна, а следствие ложно. То есть выражение обращается в 0 ровно тогда, когда $x \notin A$ и при этом принадлежности $x$ отрезкам $B$ и $C$ различаются.

Значит, чтобы выражение было истинно при любом $x$ , отрезок $A$ обязан содержать все точки, в которых $(x \in B)$ и $(x \in C)$ не совпадают, — всю симметрическую разность отрезков.

Для $B = [14; 20]$ и $C = [15; 27]$ :

в $B$ , но не в $C$ : $14 \le x \lt 15$ ;
в $C$ , но не в $B$ : $20 \lt x \le 27$ .

Самая левая «проблемная» точка — это $x = 14$ , самая правая — $x = 27$ . Отрезок $A$ , содержащий и 14, и 27, обязан содержать весь промежуток $[14; 27]$ .

Наименьший подходящий отрезок — $A = [14; 27]$ , его длина равна $27 - 14 = 13$ .

# проверка на мелкой сетке
def ok(a, b, step=0.5):
    for i in range(0, 200):
        x = i * step
        A = a <= x <= b
        B = 14 <= x <= 20
        C = 15 <= x <= 27
        if not (A or (B == C)):   # (not A) -> (B == C)
            return False
    return True

print(ok(14, 27))     # True
print(ok(14.5, 27))   # False — точка 14 не покрыта

Ответ: 13