Задание 15

Знание основных понятий и законов математической логики · 27 заданий

Задание №15
№15
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А ло…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15
На числовой прямой даны два отрезка: D = [17; 58] и C = [29; 80]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого логическое выражен…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x < A) (y < A) (x · y > 1200) тождественио ложно, т. е. принимает значение 0 при люб…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x < A) (y < A) (x · y > 601) тождественио ложно, т. е. принимает значение 0 при любы…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x ⩾ А) (у ⩾ А) (x · y ⩽ 270) тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при лю…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Обозначим через ТРЕУГ(n, m, k) утверждение «существует невырожденный треугольник с длинами сторон n, m и k». Для какого наибольшего натурального числа…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x ⩾ A) (y ⩾ A) (x · y ⩽ 200) тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при лю…
Алгебра логики
Задание №15
№15
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15
На числовой прямой даны два отрезка: В = [4; 18] и С = [12; 40]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, для которого логическое выражени…
Алгебра логики
Задание №15
№15
На числовой прямой даны два отрезка: В = [14; 20] и С = [15; 27]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, для которого логическое выражен…
Алгебра логики

Задание №15 — Сложное логическое выражение

Обозначим через ТРЕУГ(n, m, k) утверждение «существует невырожденный треугольник с длинами сторон n, m и k». Для какого наибольшего натурального числа А формула
$\neg ( ( ТРЕУГ ( x , 11{,}18 ) = ( \neg ( МАКС ( x , 5 ) > 15 ) ) ) \land ТРЕУГ ( x , А , 5 ) )$
тождественно истинна (т. е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х?
Примечание. МАКС(а, b) = а, если а > b и МАКС(а, b) = b, если a ≤ b.

Правильный ответ

Пояснение

Решение:

Обозначим $P = \text{ТРЕУГ}(x, 11, 18)$ , $Q = \neg(\text{МАКС}(x, 5) \gt 15)$ , $R = \text{ТРЕУГ}(x, A, 5)$ . Формула имеет вид $\neg((P \equiv Q) \land R)$ и тождественно истинна тогда и только тогда, когда при каждом натуральном $x$ , для которого $P$ и $Q$ совпадают, значение $R$ ложно.

Находим $P$ . Невырожденный треугольник со сторонами $x$ , 11 и 18 существует, когда $x + 11 \gt 18$ и $11 + 18 \gt x$ , то есть при $7 \lt x \lt 29$ . Значит $P = 1$ при $8 \le x \le 28$ .

Находим $Q$ . При $x \le 5$ имеем $\text{МАКС}(x, 5) = 5$ , иначе $\text{МАКС}(x, 5) = x$ . Поэтому условие $\text{МАКС}(x, 5) \gt 15$ равносильно $x \gt 15$ , и $Q = 1$ при $x \le 15$ .

Сравним $P$ и $Q$ по участкам:

$x$	$P$	$Q$	$P \equiv Q$
$1 \le x \le 7$	0	1	нет
$8 \le x \le 15$	1	1	да
$16 \le x \le 28$	1	0	нет
$x \ge 29$	0	0	да

Итак, $R = \text{ТРЕУГ}(x, A, 5)$ должно быть ложно при всех $x$ из отрезка $[8; 15]$ и при всех $x \ge 29$ .

Треугольник со сторонами $x$ , $A$ и 5 существует, когда $x + 5 \gt A$ и $A + 5 \gt x$ , то есть при $A - 5 \lt x \lt A + 5$ .

Условие « $R$ ложно при всех $x \ge 29$ » требует $A + 5 \le 29$ , откуда $A \le 24$ .

Проверим $A = 24$ : треугольник существует лишь при $19 \lt x \lt 29$ , а точки $8 \le x \le 15$ и $x \ge 29$ в этот промежуток не попадают. Значит $A = 24$ подходит и является наибольшим.

def treug(a, b, c):
    a, b, c = sorted((a, b, c))
    return a + b > c

best = 0
for A in range(1, 100):
    if all(not ((treug(x, 11, 18) == (not (max(x, 5) > 15))) and treug(x, A, 5))
           for x in range(1, 1000)):
        best = A
print(best)   # 24

Ответ: 24