Задание №15 — Сложное логическое выражение

Решение:

Обозначим $P = \text{ТРЕУГ}(x, 11, 18)$, $Q = \neg(\text{МАКС}(x, 5) \gt 15)$, $R = \text{ТРЕУГ}(x, A, 5)$. Формула имеет вид $\neg((P \equiv Q) \land R)$ и тождественно истинна тогда и только тогда, когда при каждом натуральном $x$, для которого $P$ и $Q$ совпадают, значение $R$ ложно.

Находим $P$. Невырожденный треугольник со сторонами $x$, 11 и 18 существует, когда $x + 11 \gt 18$ и $11 + 18 \gt x$, то есть при $7 \lt x \lt 29$. Значит $P = 1$ при $8 \le x \le 28$.

Находим $Q$. При $x \le 5$ имеем $\text{МАКС}(x, 5) = 5$, иначе $\text{МАКС}(x, 5) = x$. Поэтому условие $\text{МАКС}(x, 5) \gt 15$ равносильно $x \gt 15$, и $Q = 1$ при $x \le 15$.

Сравним $P$ и $Q$ по участкам:

$x$	$P$	$Q$	$P \equiv Q$
$1 \le x \le 7$	0	1	нет
$8 \le x \le 15$	1	1	да
$16 \le x \le 28$	1	0	нет
$x \ge 29$	0	0	да

Итак, $R = \text{ТРЕУГ}(x, A, 5)$ должно быть ложно при всех $x$ из отрезка $[8; 15]$ и при всех $x \ge 29$.

Треугольник со сторонами $x$, $A$ и 5 существует, когда $x + 5 \gt A$ и $A + 5 \gt x$, то есть при $A - 5 \lt x \lt A + 5$.

Условие «$R$ ложно при всех $x \ge 29$» требует $A + 5 \le 29$, откуда $A \le 24$.

Проверим $A = 24$: треугольник существует лишь при $19 \lt x \lt 29$, а точки $8 \le x \le 15$ и $x \ge 29$ в этот промежуток не попадают. Значит $A = 24$ подходит и является наибольшим.

def treug(a, b, c):
    a, b, c = sorted((a, b, c))
    return a + b > c

best = 0
for A in range(1, 100):
    if all(not ((treug(x, 11, 18) == (not (max(x, 5) > 15))) and treug(x, A, 5))
           for x in range(1, 1000)):
        best = A
print(best)   # 24

Ответ: 24