Задание 15

Знание основных понятий и законов математической логики · 27 заданий

Задание №15
№15Среднее
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А ло…
Алгебра логики
Задание №15
№15Среднее
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15Среднее
На числовой прямой даны два отрезка: D = [17; 58] и C = [29; 80]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого логическое выражен…
Алгебра логики
Задание №15
№15Лёгкое
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15Лёгкое
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x < A) (y < A) (x · y > 1200) тождественио ложно, т. е. принимает значение 0 при люб…
Алгебра логики
Задание №15
№15Лёгкое
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x < A) (y < A) (x · y > 601) тождественио ложно, т. е. принимает значение 0 при любы…
Алгебра логики
Задание №15
№15Среднее
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x ⩾ А) (у ⩾ А) (x · y ⩽ 270) тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при лю…
Алгебра логики
Задание №15
№15Сложное
Обозначим через ТРЕУГ(n, m, k) утверждение «существует невырожденный треугольник с длинами сторон n, m и k». Для какого наибольшего натурального числа…
Алгебра логики
Задание №15
№15Среднее
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение (x ⩾ A) (y ⩾ A) (x · y ⩽ 200) тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при лю…
Алгебра логики
Задание №15
№15Сложное
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А фо…
Алгебра логики
Задание №15
№15Лёгкое
На числовой прямой даны два отрезка: В = [4; 18] и С = [12; 40]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, для которого логическое выражени…
Алгебра логики
Задание №15
№15Среднее
На числовой прямой даны два отрезка: В = [14; 20] и С = [15; 27]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, для которого логическое выражен…
Алгебра логики

Задание №15 — Сложное логическое выражение

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение
$\left(x < A\right) \land \left(y < A\right) \land \left(x \cdot y > 601\right)$
тождественио ложно, т. е. принимает значение 0 при любых целых положительных x и y?

Правильный ответ

Пояснение

Решение:

Конъюнкция $(x \lt A) \land (y \lt A) \land (x \cdot y \gt 601)$ истинна, только когда истинны все три множителя. Тождественная ложность означает, что не существует целых положительных $x, y$ , для которых одновременно

$x \lt A$ , $y \lt A$ и $x \cdot y \gt 601$ .

Для целых $x \lt A$ , $y \lt A$ верно $x \le A - 1$ и $y \le A - 1$ , поэтому наибольшее достижимое произведение равно $(A - 1)^{2}$ . Такой пары нет тогда и только тогда, когда

$(A - 1)^{2} \le 601.$

Так как $24^{2} = 576 \le 601$ , а $25^{2} = 625 \gt 601$ , получаем $A - 1 \le 24$ , то есть $A \le 25$ . При $A = 25$ максимум произведения равен $24 \cdot 24 = 576$ , условие $x \cdot y \gt 601$ невыполнимо и конъюнкция тождественно ложна; при $A = 26$ пара $x = y = 25$ даёт $625 \gt 601$ и делает выражение истинным.

best = 0
for A in range(0, 100):
    if not any(x < A and y < A and x * y > 601
               for x in range(1, A + 1) for y in range(1, A + 1)):
        best = A
print(best)   # 25

Ответ: 25