Вариант 3 · Май 2026

Четырехугольник $\text{ABCD}$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $75^{\circ} ,$ угол $CAD$ равен $35^{\circ} .$ Найдите угол $ABC .$ Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\overset{\rightarrow}{a} ( 1 ; 2 ) , \overset{\rightarrow}{b} ( - 3 ; 6 ) , \overset{\rightarrow}{c} ( 4 ; - 2 ) .$ Найдите длину вектора $a - b + c .$

В прямоугольном параллелепипеде $\text{ABCDA}_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известно, что $AB = 6 , BC = 5 , AA_{1} = 4 .$ Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A , B , C , B 1 ​ .$

В сборнике билетов по математике всего 48 билетов, в 12 из них встречается вопрос по теме «Логарифмы». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме «Логарифмы».

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,7?

Найдите корень уравнения $5^{2 - x} = 125 .$

Найдите значение выражения $\frac{2^{3{,}2} \cdot 6^{6{,}2}}{12^{5{,}2}} .$

На рисунке изображён график функции $y = f ' \left(x\right)$ - производной функции $f \left(x\right) ,$ определенной на интервале $\left(- 5 ; 5\right) .$ Найдите точку минимума функции $f \left(x\right) .$

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_{0} = 70$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 16$ км/ч². Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $S = v_{0} t + \frac{at^{2}}{2} ,$ где $t$ - время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 123 км. Ответ дайте в минутах.

На рисунке изображен график функции вида $f \left(x\right) = a^{x} .$ Найдите значение $f \left(4\right) .$

Найдите точку минимума функции $y = 5 x - \ln \left(x + 3\right)^{5} + 6 .$

а) Решите уравнение $\log _{5} \left(\cos x + \sin 2 x + 25\right) = 2 .$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[2 \pi ; \frac{7 \pi}{2}\right] .$

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ имеют длину 6. Точки M и N – середины рёбер AA₁ и A₁C₁ соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны. 
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB₁.

Решите неравенство $\log _{5} \left(8 x^{2} + 7\right) - \log _{5} \left(x^{2} + x + 1\right) \geq \log _{5} \left(\frac{x}{x + 7} + 7\right) .$

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- в июле 2030 года долг должен составить 600 тыс. рублей.
- в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2360 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и медиана $AM ,$ угол $ACB$ равен $30^{\circ} .$ Точка $H$ лежит на отрезке $BM .$ В треугольнике $ACM$ проведена высота $MQ .$ Прямые $MQ$ и $AH$ пересекаются в точке $F .$ Известно, что $AM$  - биссектриса угла $HAC .$
а)  Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.
б)  Найдите площадь треугольника $CFM ,$ если $AB = 10 .$

При каких значениях параметра а уравнение $| x^{2} - a^{2} | + 8 = | x + a | + 8 | x – a |$ имеет два положительных корня?

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30021.
а)  Может ли среди записанных на доске чисел быть число 351?
б)  Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 11?
в)  Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом $n .$ Найдите наименьшее возможное значение $n .$