Задание 20

Числа и их свойства (теория чисел) · 29 заданий

Задание №20
№20Сложное
а) Можно ли представить число 2014 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? б) Можно ли представить число 199 в ви…
Целые числа, делимость
Задание №20
№20Сложное
а) Можно ли представить число 2032 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? б) Можно ли представить число 799 в ви…
Целые числа, делимость
Задание №20
№20Сложное
а) Можно ли представить число 2043 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? б) Можно ли представить число 599 в ви…
Целые числа, делимость
Задание №20
№20Лёгкое
Семь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общегоделителя, большего 1. а) Может ли сумма всех семи чисел быть равна 50? б) Може…
Целые числа, делимость
Задание №20
№20Лёгкое
Восемь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1. а) Может ли сумма всех восьми чисел быть равна 65? б)…
Целые числа, делимость
Задание №20
№20Среднее
На доске написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 10, но не превосходит 50. Вместо некоторых чисел (возможно…
Целые числа, делимость
Задание №20
№20Среднее
На доске написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 5, но не превосходит 45. Вместо некоторых чисел (возможно о…
Целые числа, делимость
Задание №20
№20Среднее
На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 10, но не превосходит 50. Вместо некоторых чисел (возм…
Целые числа, делимость
Задание №20
№20Среднее
На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 50. Вместо некоторых чисел (возможно, одного)…
Целые числа, делимость
Задание №20
№20Сложное
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел…
Целые числа, делимость
Задание №20
№20Сложное
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел…
Целые числа, делимость
Задание №20
№20Среднее
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел…
Целые числа, делимость

Задание №20 — Числовые наборы на карточках/досках

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30021.
а)  Может ли среди записанных на доске чисел быть число 351?
б)  Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 11?
в)  Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом $n .$ Найдите наименьшее возможное значение $n .$

Ваше решениедо 4 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
Среднее арифметическое $= \frac{S}{n} \Rightarrow S , S = ср . арифм \cdot n ,$ где $S$ - сумма, $n$ - количество.
Рассмотрим 3 любых числа:
$a + b + x_{1} = 3 \cdot M_{1}$
$a + b + x_{2} = 3 \cdot M_{2}$
Вычтем эти 2 уравнения
$x_{1} - x_{2} = 3 \left(M_{1} - M_{2}\right)$
следовательно разность любых 2-ух чисел делиться на 3, аналогично с 4, 5, 6 любыми числами т. е разность любых 2-ух чисел делится на 3, 4, 5 и 6 (и на 60).
а) $30021 - 351 = 29670$ не делится на 4 $\rightarrow$ нет, не может.
б) Так как у нас по условию 30021 находится на доске, можно сделать общий вид для всех чисел $60 K + 21$ (Так как $30021 \vdots 60$ дает остаток 21).
Заметим $11 \left(60 K + 21\right) = 660 K + 231 = 60 \left(11 K + 3\right) + 51$ таким образом при умножении на 11 остаток от деления на 60 изменится (Нет не может).
в) Необходимо, чтобы $n \left(60 K + 21\right)$ давало остаток 21 при делении на 60.
т. е $\left(n 60 + 21 n - 21\right) \vdots 60$
$60 Kn + 21 \left(n - 1\right) \vdots 60$
Таким образом необходимо, чтобы
$21 \left(n - 1\right) \vdots 60 \\ 7 \left(n - 1\right) \vdots 20$
Т. е $n - 1$ должно делиться на 20 $n \geq 21 .$
Возьмем наименьшее $n = 21 .$
Например: $21 ; 441 ; 30021 ; 9261 ; . . .$ Таким образом наименее возможное $n = 21 .$

Ответ: а) нет б) нет в) 21

Источник: ФИПИ