Разбор задачи:
Исходное уравнение имеет вид: $| x^{2} - a^{2} | + 8 = | x + a | + 8 | x - a |$.
Воспользуемся свойством модуля произведения и разложим разность квадратов: $| x - a | \cdot | x + a | + 8 - | x + a | - 8 | x - a | = 0$.
Сгруппируем слагаемые для вынесения общих множителей:
$| x + a | ( | x - a | - 1 ) - 8 ( | x - a | - 1 ) = 0$.
Теперь вынесем общую скобку $( | x - a | - 1 )$:
$( | x - a | - 1 ) ( | x + a | - 8 ) = 0$.
Данное уравнение распадается на совокупность двух простейших уравнений с модулем:
$| x - a | = 1$ или $| x + a | = 8$.
Раскрывая модули, получаем четыре линейных уравнения, связывающих $x$ и $a$:
$x - a = 1 \Rightarrow a = x - 1$
$x - a = -1 \Rightarrow a = x + 1$
$x + a = 8 \Rightarrow a = 8 - x$
$x + a = -8 \Rightarrow a = -x - 8$

Критерии оценивания:
За полностью обоснованное решение и верный числовой ответ выставляется 4 балла.
Если ход рассуждений верен, но допущена единственная арифметическая ошибка или аргументация шагов неполная — 3 балла.
При наличии одной негрубой логической ошибки (не вычислительной) при верном направлении решения — 2 балла.
Если найдены лишь некоторые подходящие значения параметра или допущено более одной ошибки — 1 балл.
В остальных случаях, не подходящих под описание выше — 0 баллов.

Ответ: $a \in ( - \infty ; - 8 ) \cup ( - 1 ; 1 ] \cup \{ 3{,}5 \} \cup \{ 4{,}5 \} \cup [ 8 ; + \infty )$

Источник: ФИПИ