Задание 19

Уравнения и неравенства с параметром · 100 заданий

Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 2^(|x| + 3) + 7 |x| + 1 = 8 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 6 · 2^(|x|) + 7 |x| + 1 = 6 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 3 · 2^(|x|) + 5 |x| + 4 = 3 y + 5 x² + 3 a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 5 · 2^(|x|) + 6 |x| + 7 = 5 y + 6 x² - a; x² + y² = 1 имеет единственное решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { |x - a| + |y| = 2; y = √(4 - x²) имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a (x + 9/x)² - 2 (x + 9/x) - 49 a + 14 = 0 имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение sin 3 x + asin x = 0 не имеет решений на интервале (0; π/4).
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ln (5 x - 2) · √(x² - 2 x + 2 a - a²) = 0 имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ((a - x - 4) (a² + x² - 10))/(√(- 6 x - x²)) = 0 имеет хотя бы одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений { y = - |x - a| + 1; |y| + x² + 2 x = 0 имеет ровно четыре различных решения…
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений { √(a - y²) = √(a - x²); x² + y² = 2 x + 4 y имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение √(2 x - 1) · ln (4 x - a) = √(2 x - 1) · ln (5 x + a) имеет ровно один корень на отрезке [0; 1…
С параметрами

Задание №19 — Уравнения с параметром

При каких значениях параметра а уравнение $| x^{2} - a^{2} | + 8 = | x + a | + 8 | x – a |$ имеет два положительных корня?

Ваше решениедо 4 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Разбор задачи:
Исходное уравнение имеет вид: $| x^{2} - a^{2} | + 8 = | x + a | + 8 | x - a |$ .
Воспользуемся свойством модуля произведения и разложим разность квадратов: $| x - a | \cdot | x + a | + 8 - | x + a | - 8 | x - a | = 0$ .
Сгруппируем слагаемые для вынесения общих множителей:
$| x + a | ( | x - a | - 1 ) - 8 ( | x - a | - 1 ) = 0$ .
Теперь вынесем общую скобку $( | x - a | - 1 )$ :
$( | x - a | - 1 ) ( | x + a | - 8 ) = 0$ .
Данное уравнение распадается на совокупность двух простейших уравнений с модулем:
$| x - a | = 1$ или $| x + a | = 8$ .
Раскрывая модули, получаем четыре линейных уравнения, связывающих $x$ и $a$ :
$x - a = 1 \Rightarrow a = x - 1$
$x - a = -1 \Rightarrow a = x + 1$
$x + a = 8 \Rightarrow a = 8 - x$
$x + a = -8 \Rightarrow a = -x - 8$

Критерии оценивания:
За полностью обоснованное решение и верный числовой ответ выставляется 4 балла.
Если ход рассуждений верен, но допущена единственная арифметическая ошибка или аргументация шагов неполная — 3 балла.
При наличии одной негрубой логической ошибки (не вычислительной) при верном направлении решения — 2 балла.
Если найдены лишь некоторые подходящие значения параметра или допущено более одной ошибки — 1 балл.
В остальных случаях, не подходящих под описание выше — 0 баллов.

Ответ: $a \in ( - \infty ; - 8 ) \cup ( - 1 ; 1 ] \cup \{ 3{,}5 \} \cup \{ 4{,}5 \} \cup [ 8 ; + \infty )$

Источник: ФИПИ