Вариант 5 · Май 2026

Площадь парралелограмма $ABCD$ равна 60. Точка $E$ - середина стороны $AD .$ Найдите площадь треугольника $ABE .$

Даны векторы $\overset{\rightarrow}{a} ( 2 ; 1 )$ и $\overset{\rightarrow}{b} ( 2 ; - 4 ) .$ Найдите скалярное произведение векторов $\overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{b}$ и $7 \overset{\rightarrow}{a} - \overset{\rightarrow}{b} .$

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объём конуса, если объём цилиндра равен 150.

В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 1 подтекает. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Найдите корень уравнения $\sqrt{36 - 4 x} = 2 .$

Найдите значение выражения$\frac{\log _{12} 10}{\log _{12} 2} + \log _{2} \frac{8}{5} .$

На рисунке изображен график производной функции $f ' \left(x\right) ,$ определенной на интервале $\left(- 7 ; 14\right) .$ Найдите количество точек максимума функции $f \left(x\right)$ на отрезке $\left[- 6 ; 9\right] .$

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f = 36$ см Расстояние от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние от линзы до экрана - в пределах от 160 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $\frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{d_{2}} = \frac{1}{f} .$ Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.

Смешав 45%-й и 97%-й растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-й раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-го раствора той же кислоты, то получили бы 72%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-го раствора использовали для получения смеси?

На рисунке изображен график функции вида $f \left(x\right) = \log _{a} x .$ Найдите значение $f ( 32 ) .$

Найдите наименьшее значение функции $y = 9 x - 9 \ln \left(x + 11\right) + 7$ на отрезке [-10,5; 0].

а)  Решите уравнение $2 \log _{9}^{2} x - 3 \log _{9} x + 1 = 0 .$

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ \sqrt{10} ; \sqrt{99} \left]\right. .$

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ известно, что $AB = 4 .$ Через точку $O$ пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру $SC$ провели плоскость $\alpha .$
а)  Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B$ и $D .$
б)  В каком отношении плоскость $\alpha$ делит ребро $SC ,$ считая от вершины $S ,$ если площадь сечения равна $2 \sqrt{14} ?$

Решите неравенство: $\frac{1}{5^{x} + 31} \leq \frac{4}{5^{x + 1} - 1} .$

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 17 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 29,75 млн. рублей?

В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в три раза больше основания $BC .$
а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины $C$ до середины диагонали $BD ,$ если $AD = 15$ и $AC = 2 \sqrt{61} .$

Найдите все значения $a ,$ при каждом из которых система уравнений
$\left\{\begin{matrix} ax^{2} + ay^{2} + 2 ax + \left(a + 2\right) y + 1 = 0 , \\ xy + 1 = x + y \end{matrix}\right.$
имеет ровно четыре различных решения.

На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 10, но не превосходит 50. Вместо некоторых чисел (возможно, одного) на доске написали числа, большие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 51, с доски стёрли, но на доске осталось хотя бы одно число.
а)  Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел уменьшилось?
б)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 24. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 17?
в)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 24. Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.