Вариант 5 · Май 2026

Решение:
Рассмотрим уравнение: $2 \log _{9}^{2} x - 3 \log _{9} x + 1 = 0$.
Для начала определим область допустимых значений переменной: $x > 0$.
Введем новую переменную, пусть $\log _{9} x = t$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного: $2 t^{2} - 3 t + 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
Вычислим корни для $t$:
$t = \frac{3 \pm 1}{4}$, откуда получаем $t_{1} = 1$ и $t_{2} = \frac{1}{2}$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
1) $\log _{9} x = 1 \Rightarrow x = 9^1 = 9$;
2) $\log _{9} x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$.

б) Выполним отбор найденных корней на промежутке $\left[\sqrt{10}; \sqrt{99}\right]$.

Проверим каждое значение:
Число $x_1 = 9$ можно представить как $\sqrt{81}$. Так как $10 < 81 < 99$, то корень $9$ входит в заданный отрезок.
Число $x_2 = 3$ можно представить как $\sqrt{9}$. Так как $9 < 10$, данный корень не принадлежит указанному интервалу.
Следовательно, условию удовлетворяет только $x = 9$.

Ответ: а) 3; 9; б) 9

Источник: ФИПИ

Решение:
а) Рассмотрим грань $SBC$ и проведём в ней высоту $BH$ к ребру $SC$. Поскольку заданная пирамида $SABCD$ является правильной, треугольники $SAD$ и $SCB$ равны. Следовательно, высоты этих треугольников, опущенные на общее для боковых граней ребро $SC$, будут сходиться в одной точке $H$. Таким образом, $BH \perp SC$ и $DH \perp SC$, из чего следует, что плоскость $\alpha$, проходящая через прямые $BH$ и $DH$, перпендикулярна ребру $SC$.

Точка $O$, как точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$, лежит на отрезке $BD$. Так как отрезок $BD$ целиком принадлежит плоскости $BHD$, то и точка $O$ лежит в плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать.
б) В основании правильной пирамиды лежит квадрат $ABCD$ со стороной $AB = BC = 4$. Воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника $ABC$:
$$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = 4^2 + 4^2 = 32,$$ откуда $AC = 4\sqrt{2}$. Поскольку диагонали квадрата точкой пересечения $O$ делятся пополам, получаем $AO = OC = OD = OB = 2\sqrt{2}$. Следовательно, длина всей диагонали $DB = 4\sqrt{2}$.
Площадь треугольника $DHB$ по условию равна $2\sqrt{14}$. С другой стороны, $S_{DHB} = \frac{1}{2} \cdot DB \cdot OH$. Выразим высоту $OH$:
$$OH = \frac{2 \cdot S_{DHB}}{DB} = \frac{4\sqrt{14}}{4\sqrt{2}} = \sqrt{7}.$$
Так как плоскость $\alpha$ перпендикулярна $SC$, то любая прямая в этой плоскости, проходящая через $H$, перпендикулярна $SC$. Значит, $OH \perp SC$, и треугольник $OHC$ является прямоугольным. По теореме Пифагора:
$$HC^{2} = OC^{2} - OH^{2} = (2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{7})^2 = 8 - 7 = 1,$$ следовательно, $HC = 1$.
В прямоугольном треугольнике $SOC$ отрезок $OH$ является высотой, опущенной на гипотенузу. По свойству катета имеем: $OC^{2} = SC \cdot HC$. Подставим значения: $8 = SC \cdot 1$, откуда $SC = 8$.
Вычислим длину отрезка $SH$: $SH = SC - HC = 8 - 1 = 7$.
Таким образом, искомое отношение равно: $\frac{SH}{HC} = \frac{7}{1}$.

Ответ: б) $7:1$

Источник: ФИПИ

Разбор решения:
Для начала определим область допустимых значений: так как знаменатели не могут быть равны нулю, получаем условие $x \neq -1$.
Введем вспомогательную переменную, положив $t = 5^{x}$. Тогда исходное неравенство примет вид:
$$\frac{1}{t + 31} \leq \frac{4}{5t - 1}$$ Перенесем всё в левую часть и приведем дроби к общему знаменателю:
$$\frac{5t - 1 - 4(t + 31)}{(t + 31)(5t - 1)} \leq 0$$ После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых в числителе получаем:
$$\frac{t - 125}{(t + 31)(5t - 1)} \leq 0$$ Решим полученное рациональное неравенство относительно $t$ методом интервалов:

Множество решений для $t$: $t \in (-\infty; -31) \cup (\frac{1}{5}; 125]$.
Выполним переход к исходной переменной $x$, учитывая, что показательная функция $5^x$ всегда принимает только положительные значения ($5^x > 0$):
1) Условие $5^x < -31$ не имеет решений.
2) Условие $\frac{1}{5} < 5^x \leq 125$ равносильно $5^{-1} < 5^x \leq 5^3$.
Отсюда получаем интервал для переменной $x$: $x \in (-1; 3]$.

Критерии оценивания:
2 балла — решение полностью обосновано, получен правильный ответ.
1 балл — допущена вычислительная ошибка, не влияющая на общую логику решения, либо ответ отличается от верного только включением/исключением граничных точек.
0 баллов — решение не удовлетворяет вышеуказанным требованиям.

Ответ: $x \in (-1; 3]$

Источник: ФИПИ

Решение:

Пусть $r = 15\%$ — годовая процентная ставка, тогда коэффициент начисления процентов составит $p = \frac{r}{100} = 0{,}15 = \frac{3}{20}$.
Обозначим через $x$ фиксированную величину, на которую ежегодно снижается основной долг.
Общая сумма переплаты (сумма всех начисленных процентов) вычисляется как разница между общей суммой выплат и телом кредита: $29{,}75 - 17 = 12{,}75$ млн рублей.
Проследим за изменением задолженности в таблице:

Так как в конце срока кредит должен быть полностью погашен, имеем $S - nx = 0$, откуда $nx = S = 17$.
Найдем общую сумму начисленных процентов, которая представляет собой сумму арифметической прогрессии:
$pS + p(S - x) + p(S - 2x) + \dots + p(S - (n - 1)x) =$
$= p \cdot \left( nS - (x + 2x + \dots + (n - 1)x) \right) =$
$= p \left( nS - \frac{x + (n - 1)x}{2} \cdot (n - 1) \right) =$
$= p \left( nS - \frac{nx}{2}(n - 1) \right)$.
Подставим известные значения $S = 17$ и $nx = 17$:
$p \left( 17n - \frac{17}{2}(n - 1) \right) = p ( 17n - 8{,}5n + 8{,}5 ) = p ( 8{,}5n + 8{,}5 )$.
Зная, что переплата равна $12{,}75$, составим уравнение:
$\frac{3}{20} ( 8{,}5n + 8{,}5 ) = 12{,}75$
Умножим обе части на $\frac{20}{3}$:
$8{,}5n + 8{,}5 = 85$
$8{,}5n = 76{,}5$
$n = 9$.

Таким образом, срок кредитования составляет 9 лет.

Ответ: 9 лет

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Проведем вторую высоту трапеции — отрезок $BM$.
Так как $BM$ и $CH$ перпендикулярны основанию $AD$, четырехугольник $BCHM$ является прямоугольником, откуда следует равенство $BC = MH$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $BAM$ и $HCD$. Они равны по гипотенузе и катету, так как боковые стороны равнобедренной трапеции $AB = CD$, а высоты $BM = CH$.
Вычислим длину отрезка $HD$:
$$AM = HD = \frac{AD - MH}{2} = \frac{AD - BC}{2} = \frac{3BC - BC}{2} = BC.$$
Тогда длина отрезка $AH$ складывается из $AM$ и $MH$:
$AH = AM + MH = BC + BC = 2BC$.
Таким образом, $AH = 2BC$ и $DH = BC$, что полностью доказывает утверждение задачи.

б)

Вспомним свойство равнобедренной трапеции: её диагонали имеют одинаковую длину, следовательно, $AC = BD = 2\sqrt{61}$.
По условию $AD = 15$, значит, $BC = \frac{1}{3} AD = 5$.
Воспользуемся высотой $CH$, проведенной в пункте (а). Как было доказано ранее, $HD = BC = 5$.
Пусть $Q$ — точка пересечения высоты $CH$ и диагонали $BD$.
Рассмотрим треугольники $HQD$ и $BQC$. Они равны по катету и прилежащему острому углу: $HD = BC$, а $\angle QDH = \angle QBC$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$.
Из равенства треугольников следует, что $Q$ — середина диагонали $BD$, то есть $BQ = QD$. Значит, искомое расстояние от вершины $C$ до середины диагонали $BD$ — это длина отрезка $CQ$.
Найдем половину диагонали: $BQ = \frac{BD}{2} = \frac{2\sqrt{61}}{2} = \sqrt{61}$.
В прямоугольном треугольнике $BCQ$ по теореме Пифагора найдем катет $CQ$:
$$CQ = \sqrt{BQ^2 - BC^2} = \sqrt{(\sqrt{61})^2 - 5^2} = \sqrt{61 - 25} = \sqrt{36} = 6.$$

Ответ: б) 6

Источник: ФИПИ

Решение:
Рассмотрим исходную систему уравнений:
$\left\{\begin{matrix} ax^{2} + ay^{2} + 2 ax + \left(a + 2\right) y + 1 = 0 \\ xy + 1 = x + y \end{matrix}\right.$
Преобразуем второе уравнение системы, перенеся все слагаемые в левую часть:
$\left\{\begin{matrix} ax^{2} + ay^{2} + 2 ax + \left(a + 2\right) y + 1 = 0 \\ x + y - xy - 1 = 0 \end{matrix}\right.$
Разложим выражение $x + y - xy - 1 = 0$ на множители методом группировки:
$x - 1 - (xy - y) = 0 \Rightarrow (x - 1) - y(x - 1) = 0 \Rightarrow (x - 1)(1 - y) = 0$.
Таким образом, второе уравнение распадается на две прямые: $x = 1$ или $y = 1$.
Подставим эти условия в первое уравнение системы поочередно:
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x = 1 \\ a(1)^2 + ay^2 + 2a(1) + (a + 2)y + 1 = 0 \end{matrix}\right. & (1) \\ \left\{\begin{matrix} y = 1 \\ ax^2 + a(1)^2 + 2ax + (a + 2)(1) + 1 = 0 \end{matrix}\right. & (2) \end{matrix}\right.$
Упростим полученные уравнения:
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x = 1 \\ ay^2 + (a + 2)y + 3a + 1 = 0 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} y = 1 \\ ax^2 + 2ax + 2a + 3 = 0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$
Для того чтобы система имела ровно четыре различных решения, необходимо, чтобы каждое из этих квадратных уравнений имело по два различных корня. Это возможно только если их дискриминанты строго положительны, а коэффициент $a \neq 0$ (иначе уравнения станут линейными).
Исследуем уравнение (1):
$ay^2 + (a + 2)y + 3a + 1 = 0$
Находим дискриминант: $D_1 = (a + 2)^2 - 4 \cdot a \cdot (3a + 1) = a^2 + 4a + 4 - 12a^2 - 4a = 4 - 11a^2$.
Условие $D_1 > 0$:
$4 - 11a^2 > 0 \Rightarrow a^2 < \frac{4}{11} \Rightarrow a \in \left(-\frac{2\sqrt{11}}{11}; \frac{2\sqrt{11}}{11}\right)$.
Исследуем уравнение (2):
$ax^2 + 2ax + 2a + 3 = 0$
Находим дискриминант: $D_2 = (2a)^2 - 4 \cdot a \cdot (2a + 3) = 4a^2 - 8a^2 - 12a = -4a^2 - 12a$.
Условие $D_2 > 0$:
$-4a^2 - 12a > 0 \Rightarrow a^2 + 3a < 0 \Rightarrow a(a + 3) < 0$.

Решением неравенства является интервал $a \in (-3; 0)$.
Важно отметить, что при $a = 0$ уравнения перестают быть квадратными, поэтому данное значение исключается.

Для обеспечения четырех различных решений нужно исключить случай, когда решения систем (1) и (2) совпадают. Это происходит, если обе системы проходят через общую точку $(1; 1)$. Подставим координаты этой точки в исходное уравнение:
$a(1)^2 + a(1)^2 + 2a(1) + (a + 2)(1) + 1 = 0 \Rightarrow 5a + 3 = 0 \Rightarrow a = -\frac{3}{5}$.
При $a = -\frac{3}{5}$ точка $(1; 1)$ является общим корнем, и количество решений уменьшается.

Объединяя условия $a \in \left(-\frac{2\sqrt{11}}{11}; \frac{2\sqrt{11}}{11}\right)$, $a \in (-3; 0)$ и исключая $a = -\frac{3}{5}$, получаем итоговый результат.

Ответ: $\left(- \frac{2 \sqrt{11}}{11} ; - \frac{3}{5}\right) \cup \left(- \frac{3}{5} ; 0\right)$

Источник: ФИПИ

Решение:
а) Рассмотрим возможность такой ситуации. Предположим, на доске изначально было 19 чисел, равных 11, и одно число 50. Если мы увеличим 50 на единицу, оно превратится в 51 и, согласно условию, будет удалено. В итоге останется 19 чисел.
Вычислим исходное среднее арифметическое:
$$S_{1} = \frac{19 \cdot 11 + 50}{20} = \frac{209 + 50}{20} = 12{,}95.$$
После удаления числа 51 среднее арифметическое оставшихся чисел составит:
$$S_{2} = \frac{19 \cdot 11}{19} = 11.$$
Поскольку $11 < 12{,}95$, условие задачи выполняется. Ответ: да.
б) Допустим, среди исходных 20 чисел было $n$ чисел, равных 50. Обозначим сумму остальных $(20 - n)$ чисел через $X$. По условию, среднее арифметическое всех чисел равно 24:
$$\frac{50n + X}{20} = 24 \Rightarrow 50n + X = 480.$$
После того как каждое из $n$ чисел увеличили на 1, они стали равны 51 и были стерты. Количество оставшихся чисел равно $20 - n$, а их среднее арифметическое стало 17:
$$\frac{X}{20 - n} = 17 \Rightarrow X = 17(20 - n) = 340 - 17n.$$
Подставим выражение для $X$ в первое уравнение:
$$50n + 340 - 17n = 480$$
$$33n = 140$$
$$n = \frac{140}{33} = 4\frac{8}{33}.$$
Так как количество чисел $n$ должно быть целым, такая ситуация невозможна. Ответ: нет.
в) Для минимизации итогового среднего арифметического нужно, чтобы с доски было удалено как можно больше чисел (то есть исходных «50»), а оставшиеся числа были как можно меньше. Минимально возможное натуральное число, большее 10, — это 11.
Пусть $n$ — количество чисел, равных 50, а $a$ — еще одно число из набора (которое не равно 50 и останется на доске). Остальные $(19 - n)$ чисел примем равными 11.
Составим уравнение для среднего арифметического:
$$\frac{50n + 11(19 - n) + a}{20} = 24$$
$$50n + 209 - 11n + a = 480$$
$$39n + a = 271 \Rightarrow n = \frac{271 - a}{39}.$$
Чтобы $n$ было максимальным, значение $a$ должно быть минимально возможным, при этом $a > 10$. Проверим целые значения: если $a = 37$, то $n = \frac{234}{39} = 6$. Если $a$ меньше 37, то целых решений для $n$ больше 6 не будет (так как $39 \cdot 7 = 273 > 271$).
Таким образом, в наборе было шесть «50», тринадцать «11» и одно число «37».
Проверим среднее арифметическое после удаления шести чисел 51:
$$S_{2} = \frac{13 \cdot 11 + 37}{20 - 6} = \frac{143 + 37}{14} = \frac{180}{14} = \frac{90}{7} = 12\frac{6}{7}.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $12\frac{6}{7}$

Источник: ФИПИ