Задание №2 — Скалярное произведение векторов

Решение:
Для начала определим координаты векторов, представленных на чертеже:
Вектор $\vec{a}$ имеет компоненты $(2; 1)$.
Вектор $\vec{b}$ задаётся координатами $(2; -4)$.
Найдем координаты результирующих векторов, необходимых для вычисления:
1) Сумма векторов $\vec{a} + \vec{b}$ будет иметь координаты: $(2 + 2; 1 + (-4)) = (4; -3)$.
2) Вектор $7\vec{a} - \vec{b}$ рассчитывается следующим образом: $(7 \cdot 2 - 2; 7 \cdot 1 - (-4)) = (14 - 2; 7 + 4) = (12; 11)$.
Теперь вычислим искомое скалярное произведение векторов $( \vec{a} + \vec{b} )$ и $( 7\vec{a} - \vec{b} )$, перемножив их соответствующие координаты и сложив результаты:
$$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (7\vec{a} - \vec{b}) = 4 \cdot 12 + (-3) \cdot 11 = 48 - 33 = 15.$$

Ответ: 15

Источник: ФИПИ