Задание №2 — Скалярное произведение векторов

Решение:
Для начала определим координаты векторов, исходя из условий задачи:
Вектор $\vec{a}$ имеет компоненты $(3; 1)$.
Вектор $\vec{b}$ задан координатами $(2; -6)$.
Найдем координаты суммы векторов $\vec{a} + \vec{b}$, сложив их соответствующие компоненты: $(3 + 2; 1 + (-6)) = (5; -5)$.
Далее вычислим координаты вектора $5\vec{a} - \vec{b}$. Для этого умножим координаты вектора $\vec{a}$ на $5$ и вычтем из них координаты вектора $\vec{b}$: $(5 \cdot 3 - 2; 5 \cdot 1 - (-6)) = (15 - 2; 5 + 6) = (13; 11)$.
Теперь вычислим скалярное произведение полученных векторов $\left(\vec{a} + \vec{b}\right)$ и $\left(5\vec{a} - \vec{b}\right)$ как сумму произведений их одноименных координат:
$$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (5\vec{a} - \vec{b}) = 5 \cdot 13 + (-5) \cdot 11 = 65 - 55 = 10.$$

Ответ: 10

Источник: ФИПИ