Разбор задачи:
Для наглядности представим процесс смешивания растворов схематично:

Обозначим массу первого раствора через $x$ кг, а массу второго — через $y$ кг. Основываясь на содержании чистого вещества в смесях, составим систему уравнений для двух случаев (с добавлением воды и с добавлением 50%-го раствора):
$$\begin{cases} 0,45x + 0,97y + 0 \cdot 10 = 0,62(x + y + 10) \\ 0,45x + 0,97y + 0,5 \cdot 10 = 0,72(x + y + 10) \end{cases}$$
Умножим обе части уравнений на 100 для удобства вычислений:
$$\begin{cases} 45x + 97y = 62x + 62y + 620 \\ 45x + 97y + 500 = 72x + 72y + 720 \end{cases}$$
Приведем подобные слагаемые в каждом уравнении:
$$\begin{cases} 35y - 17x = 620 \\ 25y - 27x = 220 \end{cases}$$
Выразим переменную $y$ из второго уравнения системы:
$$y = \frac{27x + 220}{25}$$
Теперь подставим полученное выражение в первое уравнение:
$$35 \cdot \left(\frac{27x + 220}{25}\right) - 17x = 620$$
Сократим дробь на 5 и избавимся от знаменателя, умножив всё уравнение на 5:
$$7 \cdot (27x + 220) = 5 \cdot (17x + 620)$$
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $x$:
$$189x + 1540 = 85x + 3100$$
$$104x = 1560$$
Откуда находим массу первого раствора:
$$x = 15$$

Ответ: 15

Источник: ФИПИ